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テイラー展開とは？
学校で無茶苦茶なレポートを出されて困っています。 まだ大学に入りたてで一切専門知識も無いのに 突然数式を与えられてテイラー展開がどうのこうのと 書いてあってそれが理解できずにまいっています。 なぜか授業でも教えてくれません。というか授業は自由時間みたいな感じで各自勝手にやってます。 一週間後までに勝手にやってこいみたいな感じです。 テイラー展開とは一言で言えば一体なんなのでしょうか？ 近似？誤差？ う～ん、難しいですね。
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hainesさん、こんにちは。 テオラー展開を勉強されているということは、解析学を取っていらっしゃるのでしょうか。 ＞なぜか授業でも教えてくれません。 そうなんですよね・・手取り足取り教えてくれた高校までの数学とは違って 「もう分かっているだろう」という前提のもとで授業されてるみたいで かなり戸惑うことだと思います。 ＞テイラー展開とは一言で言えば一体なんなのでしょうか？ Rolleの定理、平均値の定理はご存知ですか？ テイラー展開とは、y=f(x)という関数の、ｎ次導関数まで f'(x),f''(x),f'''(x),,,,f[n](x)までを考え、 それがどのような役割を演じているのか？？を考えた定理です。 平均値の定理を、n次導関数まで拡張したものと考えてもいいでしょう。 ***************Rolleの定理*********************** f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能でf'(a)=f'(b)であるとき、 f'(c)=0となるｃがa<c<bで存在する。 ************************************************* ***************平均値の定理********************** f(x)が[a,b]で連続、(a,b)で微分可能なとき、 f(b)=f(a)+(b-a)f'(c) となるようなｃがa<c<bで存在する。 ************************************************* ***************Taylorの定理********************** f(x)が[a,b]でC[n-1]級で、(a,b)でｎ回微分可能なとき、 f(b)=f(a)+{f'(a)/1!}*(b-a)+{f''(a)/2!}*(b-a)^2+・・・ +{f[n-1](a)/(n-1)!}*(b-a)^(n-1) +R[n] R[n]={f[n](c)/n!}*(b-a)^n となるような、ｃがa<c<bで存在する。 ************************************************* 証明は、ややこしいので省きますが、ｐを任意の正の整数とし、 R[n]=(b-a)^p*kとおいて、定数ｋをf[n]←f(x)のｎ次導関数 で表すことを考えて、Rolleの定理から証明できます。 頑張って、レポート書いてみてくださいね！！ 平均値の定理の応用と考えて、頑張って理解してください。
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- grothendieck
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テイラー展開についてはどの本にでも書いてあると思います。面白いのはテイラー級数を作れるが、それが元の関数と一致しないという例もあることです。有名なのは f(x) = 0 (x≧1 のとき) f(x) = 1/exp(-1/(1-x^2)) (x<1 のとき) というものです。x=1ですべての階数の微係数が0なのでテイラー級数は0になります。このような例もあるので本当は定理が成立する条件にも気を配らなければならないのです。（応用家は大抵の場合していませんが）
お礼
回答ありがとうございます。 そうなんですか。一致しない時もあるんですね。 知りませんでした。
大学の講義とは、極論すれば 「何々について勉強しましょう。そのためにはこんな参考書もありますよ。」 と言って道筋を示したらほとんど終わりです。 自分ひとりでは何が大事か分かりませんからそれを教えて くれるわけです。 もちろん最新の情報は参考書などありませんから講義だけが頼りですが、 基礎のところなら山ほど書籍があります。講義している 先生も本を出していたりします。 後は自分で学ぶものです。高校みたいに手取り足取りしてくれません。が、最近はそういう講義も増えてきましたね。 本題のテーラー展開ですが、インターネットできる環境に あるのなら名前も分かっているのですから 検索してみるのも一つの方法ですね。 と偉そうに書きましたけどかなり大変ですよね。がんばってください。
お礼
回答ありがとうございます。 う～ん、この授業だけはこれにぴったりです（汗) 大学の数学は難しいですねぇ～。
- F0ur1er
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本当に無茶な話ですね。そこで、テイラー展開に ついて簡単に説明させていただきます。 まずテイラー展開は平均値の定理の一般化と 言えます。なぜなら、n=1の時、平均値の定理から f(b)=f(a)+f'(c)*(b-a) が言えて、b=a+h、c=a+θh(0<θ<1)とおくと、 f(a+h)=f(a)+f'(a+θh)*h とかけるから、これをk回まで拡張したもの(k=1,2,…) すなわち一般化したものといえるのです。 このテイラー展開は関数の極値の判定、 凹凸の判定、多項式近似などへの応用が考えられ ます。よく使われるものとしては、 f(x)=e^xに対して、x=0でのテイラー展開は e^x=1+x+{x^2}/2!+…+{x^(n-1)}/(n-1)!+[{e^(θx)}*x^n]/n! (0<θ<1) f(x)=sin(x)に対して、x=0でのテイラー展開は sin(x) =x-{x^3}/3!+{x^5}/5!-…+[{(-1)^(n-1)}*x^(2n-1)]/(2n-1)!+[(-1)^n*sin(θx)*x^(2n)]/(2n)! (0<θ<1) f(x)=cos(x)に対して、x=0でのテイラー展開は cos(x) =1-{x^2}/2!+{x^4}/4!-…+[{(-1)^n}*x^(2n)]/(2n)!+[(-1)^(n+1)*sin(θx)*x^(2n+1)]/(2n+1)! (0<θ<1) ぐらいだと思います。 それでは、頑張って下さい。
お礼
回答ありがとうございます。 う～ん、難しいですね。 学校の図書館で色々しらべてテイラー展開の証明みたいなのも見たんですけどね～。 数学３の知識のない友達はもっと大変なのかな～。
- mmky
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参考程度に テイラー展開とは一言で言えば一体なんなのでしょうか？ 例えばｘを変数とする関数f(x)をｘのべき（数）で展開するものですかね。 f(x)=ao+a1*x+a2*x＾2+a3*x＾3+・・・an*x＾n+
お礼
回答ありがとうございます。 べき数・・・・ですか？ なにやらききなれない名前です(^^;)
お礼
回答ありがとうございます。 そうです。数値解析実習という科目です。 Rolleの定理は本で調べているときに出てきたのを覚えています。 でも結局そこで「ろるってなんだ～！？」っと思って結局それもわかりませんでした(^^;) 数式が複雑すぎて理解しずらいんですよね～この辺。 難しい～。