高次方程式のグラフ問題

質問

x^5＋5/2x^4－5/3x^3－5x^2(xの５乗＋２分の５xの４乗－３分の５xの３乗－５xの２乗）のグラフで

(1)グラフの折り返し点の座標（４つ）
(2)グラフとｘ軸が交わる点の座標（４つまたは５つ）

の求め方（電卓を使わない）を至急教えていただきたいです。

回答No.2

info22

#1です。

A#1の補足の質問の回答
(1)
>そこで解答だけでよいのでｙの値を書いていただけないでしょうか？
(x,y)=(-2,4/3),(-1,-11/6),(0,0),(1,-19/6)
≒(-2,1.3333...),(-1,-1.8333...),(0,0),(1,-3.1666...)

解答のグラフが間違っているといけませんので
y=f(x)のグラフ(黒曲線)とy=f'(x)/5 のグラフ（水色曲線）を描いて添付しておきます。y=f'(x)をy=f(x)の尺度で描くとグラフ用紙から飛び出してしまいますのでy=f'(x)のグラフはy軸を(1/5)倍してプロットしてあります。

回答No.1

info22

(1)
f'(x)=0から
x=-2,-1,0,1
y座標はx^5＋5/2x^4－5/3x^3－5x^2にそれぞれのxを代入して求めればよい。
ご自分で出来ますね。

(2)
y=f(x)=x^5＋(5/2)x^4－(5/3)x^3－5x^2
=(1/6)x^2{6x^3+15x^2-10x-30)=0
から　先ず x=0（重解）。

残りの3個の実数解xは
6x^3+15x^2-10x-30=0
を解いて求めればよい。

この解は3個とも実数解になる（増減表を描けば分かる）が、厳密解は簡単に求められない。
カルダノの公式を使えば解けるが、解が実数にもかかわらず虚数単位「i」が解の式に入ってくる。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/3jihouteisiki.pdf

近似解なら、高校の教科書に載っているニュートン=ラプソン法を使えば筆算で求めることが出来る。
また計算サイトで方程式を描けば、近似解を求めてくれます。
http://www.wolframalpha.com/
このサイトで計算した近似解は　x=-2.25679 , -1.61503 , 1.37182

厳密解は以下のようになりますが求めるのが難しいので解だけ書いておきます。
x=(1/(6√5))(30cos(atan((2/53)√209)/3)-5√2)
x=(1/6)((3√15)sin((1/3)atan((2/53)√209))-(3√5)cos((1/3)atan((2/53)√209))-5),
x=-(1/6)((3√15)*sin((1/3)atan((2/53)√209))+(3√5)cos((1/3)atan((2/53)√209))+5),

補足

すぐに返事してくださって本当にありがとうございます。もうひとつだけ質問なのですが、(1)の問題で方程式にそれぞれのｘの値を代入してそれぞれのｙの値を出してみたのですが、なぜだかわかりませんが解答にでているグラフと数値が全くあいません。そこで解答だけでよいのでｙの値を書いていただけないでしょうか？