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二回微分

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お礼率 27% (130/469)

Cをzで二回微分するとき(二乗を^2で表しています)

∂^2C/∂z^2=(∂^2C/∂x^2)・(∂x/∂z)^2+(∂C/∂x)・(∂^2x/∂z^2)

となるのはなぜでしょうか?項が2つになるところがよく分かりません。
よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 47% (942/1970)

#1さんとは、逆の表現になってしまうのですが。
「Cは zの関数であるが、その zは xの関数となっているから」だと思います。
Cが zの関数であれば C= C(z)と書けますが、
さらに zが xの関数であれば C= C(z(x))と書けます。

項が2つになるところですが、2回以上の微分は「分数」のようには扱えないところがポイントです。
∂^2C/∂z^2≠∂^2C/∂x^2 * ∂^2x/∂z^2

(1)まず、1階微分を計算します。
∂C/∂z= ∂C/∂x * ∂x/∂z

(2)これをさらに微分します。
∂^2C/∂z^2
= ∂/∂z(∂C/∂x * ∂x/∂z)
= ∂z/∂z * (∂/∂x)(∂C/∂x) * ∂x/∂z + ∂C/∂x * ∂/∂z(∂x/∂z)

ややこしい表現になってしまいますが、要は「積の微分」を使っているということです。
お礼コメント
hiwhr34

お礼率 27% (130/469)

積の微分をよかったんですね。ありがとうございました。
投稿日時 - 2009-10-17 16:46:26

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 55% (2225/4034)

Cがxの関数であり、そのxがzの関数だからでしょう。
  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 47% (942/1970)

#2です。

すいません、表記ミスがありました。
(2)の最後の式で
>= ∂z/∂z * (∂/∂x)(∂C/∂x) * ∂x/∂z + ∂C/∂x * ∂/∂z(∂x/∂z)

一番先頭の項は ∂z/∂zではなく、∂x/∂zです。
失礼しました。
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