線形代数で球の方程式の問題がわかりません・・・

質問

新学期にはいってさっそくつまづいてしまいました（泣

解き方・・・教えてください！！

問題：次の４点を通る球の方程式をもとめよ。
　　　(0,0,0) (0,1,0) (1,1,1) (2,0,0)

よろしくおねがいします！！

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

考え方は、かなり簡単です。

球の半径をｒ、中心の座標を（ａ、ｂ、ｃ）と置けば、
三平方の定理により球の方程式は、
（ｘ－ａ）^2　＋　（ｙ－ｂ）^2　＋　（ｚ－ｃ）^2　＝　ｒ^2
となります。

４点の座標を代入すると、
（０－ａ）^2　＋　（０－ｂ）^2　＋　（０－ｃ）^2　＝　ｒ^2
（０－ａ）^2　＋　（１－ｂ）^2　＋　（０－ｃ）^2　＝　ｒ^2
（１－ａ）^2　＋　（１－ｂ）^2　＋　（１－ｃ）^2　＝　ｒ^2
（２－ａ）^2　＋　（０－ｂ）^2　＋　（０－ｃ）^2　＝　ｒ^2
なので、
ａ^2　＋　ｂ^2　＋　ｃ^2　＝　ｒ^2
ａ^2　＋　（１－ｂ）^2　＋　ｃ^2　＝　ｒ^2
（１－ａ）^2　＋　（１－ｂ）^2　＋　（１－ｃ）^2　＝　ｒ^2
（２－ａ）^2　＋　ｂ^2　＋　ｃ^2　＝　ｒ^2
未知数が４つ（ａ、ｂ、ｃ、ｒ^2）で、式が４本ですので連立方程式になっています。
この連立方程式を解いて、ａ、ｂ、ｃ、ｒ^2 を求めます。
それを
（ｘ－ａ）^2　＋　（ｙ－ｂ）^2　＋　（ｚ－ｃ）^2　＝　ｒ^2
に代入すれば完了です。

ご参考に。

お礼

丁寧にありがとうごさいました！！

回答No.2

spring135

中心を(a,b,c),
半径をｒとすると
球の方程式は
（x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
これが4点(0,0,0) (0,1,0) (1,1,1) (2,0,0)
を通ることから
a,b,c,rにかんする4つの方程式が出て、これを解けばよい。
答えは
(x-1)~2+(y-1/2)^2+z^2=5/4
QED

お礼

ありがとうございました！！