数学の発展問題です。良かったら解答お願い致します。

質問

x^2 + x + 1 = 0 の解の１つをωとするとき、次の各式の値を求めよ。

(1)ω^8 + ω^4 + 5

(2)1 + ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30

(3)３で割って２余る正の整数をｍとするとき
1 + ω^m + ω^2m + ω^3m + … + ω^m^2

教科書を見ても全くわかりません。
もしどなたかこの問題がわかりましたら、途中経過も込みで解答お願い致します。

回答No.6

naniwacchi · ベストアンサー

みなさんが書かれているとおり、ωは1の3乗根の虚数解になります。
すなわち、x^3=1の x=1以外の2つの解です。

よって、ω^3=1となります。
また、当然のことながら、ω^2+ω+1=0も満たします。
3乗が1になるので、ω、ω^2、ω^3、ω^4、…と連ねていくとき、
「ω、ω^2、１」の繰り返しになります。

(2)や(3)の問題で、3の倍数が見え隠れするのは、そこを利用するためです。

最後に、(3)については #5さんの書かれているとおり、m=3k+2とおかなければなりません。
指数だけ書き下していくと、
m= 3k+2
2m= 2*(3k+2)= 3*(2k+1)+1
3m= 3*(3k+2)
…
「3の倍数＋余り」の形にして、これをωに乗じます。
終盤は少しややこしいので、ヒントとして書いておくと

最後から3番目は、(m-2)*m= 3k*(3k+2)
最後から2番目は、(m-1)*m= (3k+1)*(3k+2)
最後の項は、m*m= (3k+2)^2
となります。

ノートに少し大き目（空白をつけて）に書いていき、「3つずつ」を意識してみてください。
根気強くやれば、できますよ。

お礼

ありがとうございます。
(3)は今からやってみようと
思います。

丁寧に解説いただき
感謝しています。

回答No.5

Tacosan

「３で割って２余る」だから m=3k+2 とおかないとダメ＞#3. したがって結果も違います.

お礼

最初の解答、
ヒントをいただいたのに
理解できずすみません。

ありがとうございます。

回答No.4

h-okaachan

先ほどの解説を入れます。

(1) ω^(2)+ω+1=0 , ω^(3)=1　という公式より

　（与式）=ω^(3)xω^(3)xω^(2) + ω^(3)xω + 1+4
=ω^(2) + ω +1+4
= 0 +4
= 4

(2) 　　　　　 　S= 1 + ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30 とする
ωをすべてに掛ける ωS= ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30+ω^31

　S= 1 + ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30
-)ωS= ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30+ω^31
-------------------------------------------------------
S-ωS= 1 + ω^31
S(1-ω)= 1 + ω
S= 1

お礼

すみません、
本当にありがとうございます。

私が理解できないが為に
手間をかけさせてしまい
申し訳ないです。

感謝します。

回答No.3

info22

x=ωは次の方程式の解だから
x^2 + x + 1 = 0
ω^2+ω+1=0 …(●)
ω≠1なので
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
ω^3=1 …(■)
ω^6=(ω^3)^2=1
以上から

(1)ω^8 + ω^4 + 5=ω^2+ω+5=(ω^2+ω+1)+4= ?
後は分かるね。

(2)1 + ω + ω^2 + ω^3 + … +ω^30
=(1+ω+ω^2)
+(1+ω+ω^2)ω^3
+(1+ω+ω^2)ω^6
+ ...
+(1+ω+ω^2)ω^27
+(ω^3)^10

あとは↑に(●)と(■)を代入するだけです。
お分かりですね？

(3)m=3k-2 (kは自然数)とおけるので
m^2=3n+1 (n=3k^2-2k+1;正整数)
ω^(m^2-1)=ω^(3n+1-1)=(ω^3)^n=1
ω^(m^2)=ω^(3n+1)=ω{(ω^3)^n}=ω
従って
(2)と同様のやり方をして
(●)を適用すれば上の2項のみ残るので
1 + ω^m + ω^2m + ω^3m + … + ω^m^2＝1+ω　…(▼)
ωはx^2 + x + 1 = 0 の解だから2次方程式の解の公式からωを求め
(▼)に代入するだけ。

後はできると思うのでやってみて下さい。

お礼

(1)～(3)まで
丁寧に解説いただき
ありがとうございます。
感謝します。

回答No.2

h-okaachan

（１）は４です。

お礼

解答ありがとうございます。

どのように説いたか
途中経過を教えて頂けませんか？

回答No.1

Tacosan

ω^3 はいくつ?

補足

ご覧いただきありがとうございます。

すみません。
わかりません。
与えられてる条件等はこれのみです。