平均値の有効数字

質問

もしミクロメーター(最小目盛り0.01mm)という測量器具でコインの厚さを求めた。10回の測量結果を書いてみる
1.550
1.510
1.540
1.530
1.496
1.514
1.490
1.530
1.494
1.501 (単位すべてmm)
そしたら問題の平均を取る事になる。
でもそのそれぞれのデータに誤差があるから　すべて　±0.001mmになるんですか?(最小目盛りの1/10) そしたら平均を取ったら±の前の部分の平均と誤差の平均を足すんですか？そうなると10このデータの平均を出すと有効数字が一個増える事にはならないんですよね。じゃ平均を出すメリットはないんじゃないんでしか。
あといろんな資料を見たんですが。10このでーたの標準偏差で平均の誤差を出してるやり方があるんですが、そうなると有効数字3桁しか信用できない事になるんですが、どうでしょうか？
回答お願いします！

回答No.2

sanori

こんにちは。

＞＞＞でもそのそれぞれのデータに誤差があるから　すべて　±0.001mmになるんですか?(最小目盛りの1/10)

基本的には、測定精度と１個１個の寸法のばらつきが誤差になります。
たとえば、測定精度が０．１ｍｍ程度しかないないのに、測定値が０．００１ｍｍ単位になっていても無意味です。

ちなみに、
１個の誤差　＝　√｛（真の寸法ばらつき）^2＋（測定誤差）^2 ｝
です。

＞＞＞そしたら平均を取ったら±の前の部分の平均と誤差の平均を足すんですか？

±の前の部分には、平均値を書きます。
±の後ろの部分には、１０個のデータの値から得られる標準偏差を書きます。
つまり、
平均値　±　標準偏差
です。

工業ですと、±の後ろは標準偏差ではなく、標準偏差の３倍を書くのが普通です。

＞＞＞そうなると10このデータの平均を出すと有効数字が一個増える事にはならないんですよね。

増えます。
一般に、データの個数が多ければ多いほど、±の前も後ろも、有効桁数が（後ろに）増えていきます。
その増え方は、平方根的です。
つまり、データ数が１００倍になれば有効数字が１桁増え、データ数が１万倍になれば有効数字が２桁増えます。

＞＞＞じゃ平均を出すメリットはないんじゃないんでしか。

あります。
全データの寸法に関する、最も代表的な値です。
しかも、１個１個のデータよりも有効数字は多くなります。

＞＞＞あといろんな資料を見たんですが。10このでーたの標準偏差で平均の誤差を出してるやり方があるんですが、

はい。
上に私が書いたことと同じことです。

＞＞＞そうなると有効数字3桁しか信用できない事になるんですが、どうでしょうか？

逆です。
上に書いたとおり、標準偏差も平均値も、データの個数が多いほど有効数字は増えていきます。

ご参考になりましたら幸いです。

回答No.1

hitokotonusi

＞そうなると10このデータの平均を出すと有効数字が一個増える事にはならないんですよね。
＞そうなると有効数字3桁しか信用できない事になるんですが、どうでしょうか？

測定精度が良くないでーたではそうなりますね。
精密さが高いデータなら一桁増えることもあります。

ちなみに、測定値の不確かさは平均値の標準偏差(不偏分散の正の平方根)で表すことになっているので、ご質問のデータでは0.007。
したがって、測定結果は

1.516±0.007mm

と表し、有効数字は小数第3位までの4桁です。
最近は不確かさを二桁で表記する事も多く、その場合は

1.5155±0.0066mm

と書きますが、この場合に有効数字を5桁というのかどうかは、
浅学菲才にして知りません。調べているのですが、どうもわかりません。

＞じゃ平均を出すメリットはないんじゃないんでしか。

平均値に過剰な期待を持つのは厳禁です。
平均値は正しい値を示さず、分布の中心を示しているに過ぎません。
このデータの場合であれば、平均が1.51550、
平均の標準偏差(不偏分散の平方根)が0.0066なので、
平均±標準偏差の範囲1.509～1.522におよそ70%の確率で正しい値があるとしかいえません。
平均値はこの正しい値があると予想される範囲の中央の値を示すものです。
なので、測定結果の報告には、平均値と平均値の標準偏差を求めることが必須です。