6と7の間に未知の自然数がある可能性はあるか？

質問

思い出したのですが、
カールセーガンの著書で、題名のような問題が出されていました。
科学の面白さを言いたいらしいのですが。
素人にはわけがわかりませんが、数学者にとっては面白い問題なのでしょうか？
どういうことなのでしょう？

回答No.5

kajuram · ベストアンサー

久しぶりに回答します。
ユークリッド空間は、通常我々が認識している空間です。この空間では、平面にかかれた三角形の内角の和は１８０度になります。
しかし、我々が住んでいる地球は球です。球面上は非ユークリッド空間となります。地球表面に大きな三角形を書くことを考えましょう。
北極点から赤道に向かい、赤道で東に向きを変え、赤道を１／４周したところで、北に向かい、北極点に到達するような三角形です。
この三角形の内角の和は、２７０度になります。全部の角が９０度です。

さて、ここで考えましょう。
机の上の平面と地球上で何が違うのか？
机の上の平面も、小さいながらも地球上です。
すると、机の上の正三角形の内角の和も地球上の大きな三角形と同じく、２７０度にならなくてはいけないのではないか？
と考える人が出てきます。
すると、自然数として、１から１８０までと数えていたものが１から２７０までと数えなくてはいけないのではないか？
つまり、机の上で考えていた１から１８０の自然数の間には、まだ数えていなかった自然数があるのかもしれない・・・
といった論理ではないでしょうか？

ただの推測です。
全然自信がありません、すいませんでした。

お礼

すごくわかりやすく面白い話です。
気づいていないことには気づかない、ということですね。
ありがとうございます。

回答No.6

jmh

その本を読んだことないので想像です。

「自然数があるか？」ではなくて「未知の自然数がある可能性はあるか？」と言っているところから…「公理で構成された数学とは異なり、この宇宙には殆ど全ての可能性が残されていて、（６と７の間の自然数の発見と同程度の）驚くべき発見に出会えるかもしれない。あるいは、出会った。」という感じ？

お礼

言われてみれば、確かに本はそういうニュアンスでした。
発見の面白さを言っていたのですね。

回答No.4

mmky

参考程度に

カールセーガンは有名な天文学者でしたね。天文学的大きさで考えるとユークリッド空間：その空間では平行線はどこまでも平行や三角形の内角の和は１８０度：なんかは当てはまらないことが多いのではないでしょうかね。
ということで、非ユークリッド空間：その空間では平行線はどこかで交わる。三角形の内角の和は１８０度ではない。：がわれわれの住んでいる本当の世界ではないかと問うているのでしょう。そういう意味かと思いますね。数学的な主体はユークリッド空間での取り扱いですからそこを指摘しているのかも知れませんね？

お礼

なるほどと思いました、ありがとうございます。

回答No.3

gakutensoku

「6」や「7」が一般的な意味で使われているのならば、
「6と7の間に未知の自然数がある可能性はあるか？」
の答えは「無い」です。

直感的には「6の次の自然数は7である」をイメージしてしまいがちですが、自然数の定義に立ち返ると、
正しくは、
「"6"と名付けられたある自然数の、次の自然数を
　"7"という名で呼んでいる。」
のです。
上で【「6」や「7」が一般的な意味で使われているのならば】と書いたのはそのためです。

自然数の定義に関しては、「ペアノの公理」がキーワードになります。ご興味があれば検索等をしてみてください。

分かりにくいところなどありましたら補足させていただきますので、指摘してください。

以上、ご参考になれば幸いです。

回答No.2

arukamun

ユークリッド空間とは我々が生活している世界です。
非ユークリッド空間とは我々が生活している世界とは異なる異空間の世界だと思って頂ければ良いと思います。（あまり数学的ではありませんが・・・）

例えば、魚は水の中の世界でしかいきられませんよね。それ以外の世界は異空間です。
水の中以外で魚は生きていけないという事は、水の中の世界で成り立つ事は他の世界では成り立たない事があるという事です。

よって我々のいる世界（ユークリッド空間）で６と７の間に未知の自然数が存在しないからといって、他の世界（非ユークリッド空間）では６と７の間に未知の自然数が存在する可能性があるという事です。

回答No.1

arukamun

ユークリッド空間においては６と７の間に未知の自然数は存在しません。
最小の自然数は１です。
６＋１＝７
よって、６と７の間に自然数は存在しない。

という事は、非ユークリッド空間においては・・・

お礼

ありがとうございます。
しかしすでにわかりません・・。
空間の意味とか・・。