コーシー列

質問

Q（有理数全体の集合）の2つのコーシー列｛an},{bn}について、

{an+bn}はQの中のコーシー列であることを証明せよ。

コーシー列の定義より
|(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|

までできたのですが、このあと『ε』と上の式をどうやっていけばいいのか分かりません。教えて下さい。

最初の方も間違っているのであれば、詳しく教えて欲しいです！お願いします。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

0 ≦ |(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|
までできたのなら、
|am - an| → 0
|bm - bn| → 0
なので、
|(am + bm) - (an + bn)| → 0
ではだめなのですか？

コーシー列{An}の定義は、
lim[n,m→∞]|An-Am|=0
εを使って書けば、
∀ε>0 ∃k∈Ｎ n,m≧k n,m∈Ｎ → |An-Am|≦ε　　(Ｎは自然数の集合)
日本語で簡単に書けば、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|An-Am|≦εとなるkが存在する。

問題の証明は、
任意のε>0に対し、n,m≧kなら|(am+bm)-(an+bn)|≦εとなるkが必ず存在することを示せばいいのだから、
|am-an|≦ε/2 となる k1 と、|bm-bn|≦ε/2 となる k2 のうち大きいほうを k とすれば、
|(am+bm)-(an+bn)|=|(am-an)+(bm-bn)|≦|am-an|+|bm-bn|≦ε/2+ε/2=ε
QED.

お礼

丁寧に回答いただきありがとうございます！
今まで分からなかった点がかなり理解できました！

またよろしくお願いします。

回答No.4

uyama33

No.2です。
だめだしは１番目の方へのものではありません。
１番目の方の答えでよいと思います。

質問者さんが、コーシー列の定義を確認していないと
思ったので書いたのです。誤解されたのなら申し訳ありません。

コーシー列の定義より
|(am - an) + (bm - bn)| ≦ |am - an| + |bm - bn|

となっているのですが、この書き方では
コーシー列の定義を理解していないと判断しました。

お礼

回答、いつもありがとうございます。
コーシー列の定理は、パソコンで打てなかったので省いて書かせて頂きました。

またよろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

え゜？
ダメじゃありませんよ。
No.1 のダメ出しをするとしたら、
εδ式中の m,n に「∀」が付いてないことぐらい。
あれで十分です。

お礼

回答ありがとうございます。
誉めてもらってすごく嬉しかったです。少し自信がつきました。

またよろしくお願いします。

回答No.2

uyama33

まったくだめです。
ここに補足で、
コーシー列の定義を書いてみてください。
教科書を見ながら正確に書いてくださいね。