プラチカIIICの問43の(1)について

質問

問43　　　　　　　　　　　m-1
{(b^m) - (a^m)}/(b-a) = Σ[(b^{m-1-k})*(a^k)
　　　　　　　　　　　　　　 k=0

このようになる理由が分かりません。
公式なのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

左辺分母から b を
分子から b~m を括り出すと、
左辺 =｛ (b~m)/b ｝｛ 1 - (a/b)~m ｝/｛ 1 - (a/b) ｝。
初項 b~(m-1)、公比 a/b、項数 m の
等比数列の和になっているでしょう？

回答No.2

arrysthmia

等比数列の和の公式。
左辺分母から b を括り出して御覧なさい。

お礼

早い回答大変ありがとうございます。

補足

ありがとうございます。

等比数列ですか！まったく気がつかなかったです。

括りだして計算してみたのですが、Σにするときに、a^kの部分がa^(k-1)となってしまいます・・・。

計算方法の詳細を教えてもらう事はできますか？

回答No.1

sono0315

書き出してみると
m=1のとき
1

m=2のとき
a+b

m=3のとき
aa+ab+bb

m=4のとき
aaa+aab+abb+bbb

mの増加で項が増えていきます。なのでΣの最後はmに依存します

あとはaとbの次数をみると
aの次数が減っていき、代わりにbが増えていってます。
(bの降べき順ならbの次数が減り、aが増えるとしても等価)
だから、kの増加でbの次数は減っていき、aの次数が増えていますね。

お礼

すばやい回答ありがとうございます。

とても分かりやすいです。

補足

ありがとうございます。

代入して、推測すればよかったんですね！
推測以外ではできないのでしょうか？