連結バネの問題

質問

以下のように、壁にバネ、質量Mの物体、ばね、質量mの物体という風に、繋がっています。
壁|[バネ](M)[バネ](m)

このバネのバネ定数は両方ともkとします。
また、バネが自然長の状態からMが右に動く量をx1、mが右に動く量をx2とします。
この場合に、振動数ωを求める代数方程式を求めよといわれた場合、いったい何を求めればいいのでしょうか？

d^2 (x1)　 (2/M　-1/M)(x1)
ーー(　)＝k(　　　　 )(　)
dt^2(x2)　 (-1/m　1/m)(x2)

という式を求めることを言っているのでしょうか？

宜しくお願いします。

回答No.5

pascal3

浦島レスでどうもすみません。

> 一応、何倍かして足し合わせて変数変換で単振動の方程式にする場合を
> やってみたので載せます。
>
> Mx1"=-k(2x1-x2)
> mx2"=-k(-x1+x2)
> をそれぞれの式の両辺を、α、β倍して足し合わせると、
> αMx1"+βmx2"=-k{(2α-β)x1-(α-β)x2}

ここまでは正しいのですが

> ここで変数変換で単振動の形になる条件は、
> αM=2α-β
> βm=-(α-β)

ここは各変数が直接イコールになるのではありません。 正しくは比の形で

αM : (2α-β) = βm : -(α-β)

または

αM :βm = (2α-β) : -(α-β)

です。 これで進めていけば正しい結果が出るものと思われます。

回答No.4

pascal3

簡単に再度補足説明します。

> Sの固有値を求めていることになりますよね？
> ということは、代数方程式ではなくなる気がするのですが、この問題は、Sの固有式
> f(ω^2)=|S-Eω^2|

「代数方程式ではなくなる」とおっしゃっている意味がよく分かりませんが、
|S-Eω^2| = 0 という固有方程式は、代数方程式の一種であると思います。

ただし、Sを導入するよりも、質量行列 M を導入して（←適当な参考書を見てください）
|K-Mω^2| = 0 (ここで M={{M,0},{0,m}}, K={{2k,-k},{-k,k}})
とするほうが自然です。
こういう形の固有値問題（単位行列の代わりに別の行列が入っているもの）を、普通の固有値問題と区別して「一般化固有値問題」と呼ぶこともあります。

> http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/a01deq.html
> のように、すべての質量が同じ場合しか見つけられませんでした。
> 質量が異なる場合、連成振動の一般解が式(☆)のようになるということを示しているいい史料を

ここで「私の授業の資料を見てください」とか書くと私の身元がばれてしまいますね。

質量が異なる（一般化固有値問題になる）場合でも、基本的な話の流れは同じです。たとえば運動方程式を何倍かして足し合わせ、変数変換することで単振動の方程式にできるのは、今の場合でも変わりはありません。 私がくどくどと説明するよりも、ご自分の手でやってみるほうが納得がいくと思いますが、いかがでしょうか。

あと「微小振動」云々ですが、これは単にHookeの法則が適用できる範囲内で考えなさい、ということだと思います。

お礼

＞「代数方程式ではなくなる」とおっしゃっている意味がよく分かりませんが、
すみません、勘違いしてました＾＾；

＞|K-Mω^2| = 0 (ここで M={{M,0},{0,m}}, K={{2k,-k},{-k,k}})
＞とするほうが自然です。
なるほど、こういう風に表記するとスマートですね。

＞たとえば運動方程式を何倍かして足し合わせ、変数変換することで単振動の方程式にできるのは、今の場合でも変わりはありません。

一応、何倍かして足し合わせて変数変換で単振動の方程式にする場合をやってみたので載せます。

Mx1"=-k(2x1-x2)
mx2"=-k(-x1+x2)
をそれぞれの式の両辺を、α、β倍して足し合わせると、
αMx1"+βmx2"=-k{(2α-β)x1-(α-β)x2}
ここで変数変換で単振動の形になる条件は、
αM=2α-β
βm=-(α-β)
　 =-α+β
これを整理して、
β=(2-M)α
α=(1-m)β
よって、単振動の形に変数変換出来る条件は、
1=(2-M)(1-m)

となります。
よって、このような条件付でないと単振動の形へは変換できないようなのです。

一応ラプラス変換してごりごり解けば、面倒ではありますが解けそうな気もします。しかし、それだと、n質点の場合の証明に使うのは大変そうなのです。もしくは、2点で証明して帰納法でうまく示せばいいのかな？という位しかアイディアが浮かびません。

他に、何か良い方法があるのならお教えください。
宜しくお願いします。

回答No.3

pascal3

No.2のpascal3です。 補足説明をば。

> 一つ疑問なのですが「（ここでωは共通であることに注意）」とありますが、
> 何故、異なる質量の固有振動数を共通の周期であると見なせるのでしょうか？

短い答えは「全体が一つにつながっているからそういうこともあり得る」というものです。
たとえば弦とか笛のなかの空気とかを考えると、これはどちらも多数の粒子の集合体ですが、それ全体が一つの振動子であるかのように単振動をおこなうという状況は、少なくとも特定の条件のもとでは大いにあり得ることでしょう。題意は「そういうことが生じる条件を求めよ」という趣旨だとも言えます。

長いほうの答えを説明するには、まず、出題された問題がより大きな問題の一部であることを説明しなければなりません。 最終的にはこのバネ質点系の運動方程式の一般解（あらゆる初期条件に対応できる解）を求める問題であって、その途中のステップのひとつとして「振動数ωを求める代数方程式を求めよ」という問いがあるのだ、ということをまず押さえていただけるでしょうか。

複数の質点を含む系の場合、振動数は √(k/m)だとは限らないし、そもそも一般に単振動をするとも限りません。
では最終的な一般解はどうなるかというと、たとえば今のように２つの質点を含む問題では
x1 = A11 cos(ω1 t + φ1) + A21 cos(ω2 t + φ2)　… (☆1)
x2 = A12 cos(ω1 t + φ1) + A22 cos(ω2 t + φ2)　… (☆2)
となることが分かっています（とある方法を用いて直接示すことができますがそれは省略）。
この解をいきなり求めるのは難しいので、

「上記の解(☆)で、うまい具合に(A21,A22) = (0,0)になったら
『両方の質点が同じ振動数で単振動する』という状況になるだろう。
そういう状況が生じるような条件を探してみてはどうだろうか？」

と考えるわけです。 これが
> 「解が振動数ωの単振動をするものと仮定し…」みたいな前置き
そして
> x1 = A1 cos(ωt+φ)
> x2 = A2 cos(ωt+φ)
> という形の解を仮定して（ここでωは共通であることに注意）
ということの意味です。
一般解はあくまで(☆)であることを知ったうえで、
その特殊な例として単振動が生じるような条件をさがせ、という問題設定をするのです。

このあとの話の展開は（力学の本で「基準振動モード」などと書いてあるあたりを見ればたいてい載っていると思いますが）、No.2に書いたような流れで、単振動が生じるようなωを求め、その値を ω1 および ω2 とします。
まずはω＝ω1に対して、例の直線の式をみたす(A1,A2)を求めて、これを(A11,A12)とする。
同様にω＝ω2に対して(A1,A2)を求め、これを(A21,A22)とする。

一般解はこれらの２つの単振動（基準振動モード）の重ねあわせとして(☆)のような形になるわけです。

お礼

>（とある方法を用いて直接示すことができますがそれは省略）、
いろいろ連成振動について探してみたのですが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/14bibnh/a01deq.html
のように、すべての質量が同じ場合しか見つけられませんでした。
質量が異なる場合、連成振動の一般解が式(☆)のようになるということを示しているいい史料を知っていましたら教えてもらえないでしょうか？

補足

補足有り難うございます。
いくつか質問があります。
入りきらないので、補足とお礼の方に分けて書かせていただきます。

>長いほうの答えを説明するには、

すみません。長い方の答とはいったい何を指しているのでしょうか？

>これが
>> 「解が振動数ωの単振動をするものと仮定し…」みたいな前置き

なるほど、式の外形が分かっていることを前提に、解こうとしているという意味だったんですね。

実は、問題を全て挙げると、

下図のような2個の質量のおもりと同じばね定数を持ったばねからなる連成振動系の微小振動を考える。摩擦はないものとする。その時下記の問に答えよ。
　　k　　　　k
壁|[バネ](M)[バネ](m)
　　　　 |→x1　　|→x2

(1)ばねが自然長にある状態の位置からの変位x1、x2に対する運動方程式を求めよ。
(2)振動数ωを求める代数方程式を求めよ。
(3)M=2mの場合に、二つの固有振動を求め、x1、x2に関する一般解を求めよ。

となっています。
今にして思えば、私は「連成振動系の微小振動を考える」という部分をあまり重要と捉えず正確に理解してなかったので、一応質問なのですが、「連成振動系の微小振動を考える」というのは、どのような限定条件という扱いなのでしょうか？
バネが伸びすぎて、元に戻らなくなるような領域では考えないということを指しているだけなのでしょうか？
それとも、2振り子の連成振動のように、何か振れ幅が大きくなると非線形になってしまうようなことがあるのでしょうか？

x1 = A1 cos(ωt+φ)
x2 = A2 cos(ωt+φ)
を、
d^2 (x1)　　(2/M　-1/M)(x1)
ーー(　)＝-k(　　　　 )(　)
dt^2(x2)　　(-1/m　1/m)(x2)
へ代入すると、
　　(A1)　 (2/M　-1/M)(A1)
ω^2(　)＝k(　　　　 )(　)
　　(A2)　 (-1/m　1/m)(A2)

　(2k/M-ω^2　-k/M)(A1)
0＝(　　　　　　　 )(　)
　(-k/m　 k/m-ω^2)(A2)

(A1,A2)≠(0,0)の時これが成立するω^2を求めるということは、

　　(2/M　-1/M)
S＝k(　　　　 )
　　(-1/m　1/m)
と置くと、Sの固有値を求めていることになりますよね？
ということは、代数方程式ではなくなる気がするのですが、この問題は、Sの固有式
f(ω^2)=|S-Eω^2|

を書けということでしょうか？(Eは単位行列)

回答No.2

pascal3

> 振動数ωを求める代数方程式を求めよといわれた場合、いったい何を求めればいいのでしょうか？

数学の言葉で言えば「固有方程式」を求めよ、という意味です。
「代数方程式」ですから、微分方程式のままではダメで、これをωの2n次方程式に変換せよ、と言っているのです。

もし私が出題者なら「解が振動数ωの単振動をするものと仮定し…」みたいな前置きを付け加えるでしょうね。 つまり、たとえば
x1 = A1 cos(ωt+φ)
x2 = A2 cos(ωt+φ)
という形の解を仮定して（ここでωは共通であることに注意）、運動方程式に代入し、(A1,A2)についての線形同次方程式にまとめます。 図形的には (A1,A2)平面上での直線の式を2つ連立させた形になります。

ここで、もしふたつの直線が平行でないとすると、解は (A1,A2) = (0,0) のみ → 振動しないので不適。
したがって、ふたつの直線は平行であるはず。 ここからωに関する条件式が4次方程式の形で得られます。
これが
> 振動数ωを求める代数方程式
です。

お礼

解答有り難うございます。

一つ疑問なのですが「（ここでωは共通であることに注意）」とありますが、何故、異なる質量の固有振動数を共通の周期であると見なせるのでしょうか？

単純に
壁|[バネ](質量)
という構造の場合、振動数ωは、
ω=√(k/m)
となりますよね？

回答No.1

mak128

バネが自然長のとき、x1=0,x2=0、とします。

まず、mに掛かる力は、右側のバネからの力だけです。
右側のバネの伸び量は、(x2-x1)です。
すると、mに掛かる力は、-k(x2-x1)、となるので、
mの運動方程式は、
m(d^2x2/dt^2)＝k(x1-x2)
となります。
d^2x2/dt^2＝x2"
と書くと、
mx2"＝k(x1-x2)
と書けます。

次に、左のバネの伸び量は、x1なので、Mが受ける力は
左のバネから、-kx1、右のバネから、k(x2-x1)、
となるので、-kx1+k(x2-x1)＝k(x2-2x1)、となります。
Mの運動方程式は、
M(d^2x1/dt^2)＝k(-2x1+x2)
となります。
同様に
Mx1"＝k(-2x1+x2)
と書けます。

まとめると、
(M/k)x1"=-2x1+x2
(m/k)x2"=x1-x2
となります。これが微分代数方程式です。

これの解き方ですが、
Ｘとして、
(x1)
(x2)
という２×１行列を考え、

Ａとして、
(2k/M, -k/M)
(-k/m, k/m)
という２×２行列を考えると、

Ｘ”＝－ＡＸ

と書けます。
あとは、行列Ａの特性方程式（固有値の関係）を使って
解きますが、結構長くなるので、参考ＵＲＬを参照して貰えますか。

参考URL：

http://www.az.cs.is.nagoya-u.ac.jp/class/vib/vib4.ppt

お礼

解答有り難うございます。

あちゃー、符号付け間違えてましたね＾＾；
ただ、解き方自体は分かるのですが、「振動数ωを求める代数方程式を求めよ」という、この問題がどの様な式を示すことを要求しているのかがよく分からないのです。

あの微分方程式を書いておくだけで良いのでしょうか？
また、もしそうなら、問題では振動数ωと記述されているのですが、それぞれ異なる周期になると思うのですが、これは、周期がそれぞれ異なることを自分で考慮しろと言うことが含まれていると、取るべきなのでしょうか？