三角比の問題

質問

画像の三角形について、さらにa＝４、cosA＝3/4というのがわかったとき、sinAを求めたいんですけど、普通にＡの方から見てのsin、つまり4/6もしくは4/5じゃいけないんですか？

でもcosA＝3/4ってのもおかしいですよね・・設問がこれなんで間違ってはいないんでしょうけど、cosAを求めると普通は底辺÷斜辺、つまり6/5もしくは5/6がcosAじゃないんですか？

回答No.7

imapr

No.6です。
質問に答えているうちにだんだんと表現が大袈裟になり、混乱させてしまったようですね。
すみません。

相似な直角三角形について考えてみてください。
直角ではない角のひとつをAとすると、Aの大きさが同じ直角三角形は全て相似です。
相似な三角形は対応する辺の長さの比が等しいので、底辺／斜辺や高さ／斜辺などはすべて等しくなります。
つまり、cosとかsinとかは辺の長さに関係なく、Aの大きさで決まるということです。

もちろん、辺の長さの比として考えるのも間違いじゃないです。
というか、もともとの定義は辺の長さの比なので、そう考えるのが正攻法です。
しかし、三角関数を利用した応用の分野では直角三角形どころか三角形ですらないものにまで三角関数を利用したりします。
具体的にどのように応用するのかはこれからじっくり勉強していけばいいと思いますが、どんな分野にせよ三角比を「辺の長さの非」と“しか”考えられないのはとても不便だと思ったので、指摘させていただきました。

ごちゃごちゃと何度も長文を書かせていただきましたが、よくわからなければ「直角三角形の辺の長さの比」で覚えてしまって問題ないです。
それ以上の理解が必要になった時には、自然と頭がついてくるようになるはずです。

回答No.6

imapr

＞垂線をどこかからおろして無理やり直角三角形を作ったときだけ特定できるようになるってことでいいのでしょうか？

直角三角形の辺の長さの比　として三角比を考えるなら、そうなりますね。

＞もともとの三角形がどんな形の三角形であろうと三角比を考えることが可能なら、普通に高さ／斜辺で三角比を求められないのですか？

そもそも、斜辺というのは直角三角形の直角に向き合った辺のことを言う言葉で、どんな三角形にも存在するものではありません。
斜辺という言葉が出てくる段階で、すでに直角三角形についての話になっています。

三角関数表を見ると、角度と三角比の対応しか書かれていないと思います。
それは、三角関数が辺の長さに関係なく、角度によって値の決まる関数だからです。
けっきょく、「垂線をおろして直角三角形にして、斜辺で割って・・・」というのは、角度を求めるための作業にすぎないのです。
一般の三角形について、「辺の長さの比で求まる」というよりは「角度で求まる」というイメージのほうが正しいと思います。

補足

＞＞直角三角形の辺の長さの比　として三角比を考えるなら、そうなりますね。

三角比って辺の長さの比のことじゃない場合もあるんですか？
勉強を進めれば進めるほどわからなくなってきたんですけど、そもそも三角比ってなんなんですか？サインとかコサインとかって三角形の一辺が他の辺に対してどの程度の長さかってことですよね？もうわけがわかりません

回答No.5

info22

#3です。
A#3の補足の解答
>{sin(A)}^2+{cos(A)}^2=1の式は習いましたけど、どうして三角比の公式を
>直角三角形じゃない三角形で使えるんですか？
まだ習っていないかも知れませんが、
半径1の円：
x^2+y^2=1
の円周上の点Pの座標(x,y)が
x=cosα,y=sinα
ここでα=∠POQ
（Oは原点(0,0)、Qは円とX軸の正方向との交点(1,0）とする）
となるので、この座標点の座標を円の式に代入すると
(sinα)^2+(cosα)^2=１
が、αが鋭角、鈍角、負の角にかかわらず成り立つ分けです。
点Pが第一象限にあるとき、直角三角形の角（たとえば鋭角の∠A）になっているだけのことです。
最初に習うのは、直角三角形だとイメージしやすく、3平方の定理にも関係付けられて理解されやすいので、そこから教えられ、学年の進行とともに、順に角の取りうる値を鈍角や180度以上の角や負の角に拡張して習っていくことになります。

>あと、a^2<b^2+c^2なんですけど、これって三平方の定理を不等式に変えたやつですか？
そうです。
a^2=b^2+c^2 の時∠Aが直角
a^2<b^2+c^2 の時∠Aが鋭角
a^2>b^2+c^2 の時∠Aが鈍角
を応用として覚えておけば役立つと思います。
中学の数学では図に描いて直角三角形の斜辺を少し長くした時
や少し短くした時に不等式の関係になることを理解しておくと
良いですね。

高校に進めば、高校の数学ではきちんと余弦（第2）定理で
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA
と習います。
鈍角ではcosA<0なので
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA＞b^2+c^2
鋭角ではcosA>0なので
a^2=b^2+c^2-2bc*cosA＜b^2+c^2
となることをちゃんとした数式で学びます。
今は理解できないかも知れないけど高校に進んでからの楽しみとして
とっておくと良いでしょう。

補足

う～ん、式とかは一応全部見たことあるんですけど、
言ってる事がよく分かりません・・三角比ってなんでこんなに難しいんでしょう

回答No.4

imapr

No1です。

＞でも、sinA^2+cosA^2=１の公式も三角比の公式ですよね？ってことはなんで直角三角形じゃない三角形にこれを使えるんですか？

そもそも、この問題でいうsinAとかcosAとかいうのは
直角三角形ではないけれど、垂線をおろしたりして無理やり直角三角形とみなした場合の高さ／斜辺などの値なのです。
たとえば、Bからｂへ垂線をおろしたと考えれば、cosA=b'/cになります。
（b'はAから垂線とbの交点までの長さ）

なので、もともとの三角形がどんな形の三角形であろうと三角比を考えることが可能で、
三角比が存在すれば当然ながら三角比に関する公式も利用できます。

補足

ありがごうございます。
この図について、そもそも直角三角形じゃないのでどこがsinやcosなのだろうかと考えていたんですけど、imaprさんの言った事を考えるとsinやcosの場所はこの図では特定できず、垂線をどこかからおろして無理やり直角三角形を作ったときだけ特定できるようになるってことでいいのでしょうか？

あと、ふと思ったんですけど、もともとの三角形がどんな形の三角形であろうと三角比を考えることが可能なら、普通に高さ／斜辺で三角比を求められないのですか？

回答No.3

info22

a=4なら
a^2<b^2+c^2
なので∠Aは鋭角（90°以下の角）であることが分かります。

この三角形とは関係なく、1つの角が∠Aに等しい直角三角形を考えると
{sin(A)}^2+{cos(A)}^2=1
が成り立つことを習っていませんか？

この公式にcosA=3/4を代入すれば

{sin(A)}^2+(3/4)^2=1
{sin(A)}^2=1-(3/4)^2=7/(4^2)

∠Aは鋭角だからsin(A)＞0

従って両辺のルートを取って

sin(A)=(√7)/4

ポイント）3平方の定理、鋭角三角形・鈍角三角形・直角三角形と辺の関係

補足

{sin(A)}^2+{cos(A)}^2=1の式は習いましたけど、どうして三角比の公式を直角三角形じゃない三角形で使えるんですか？

あと、a^2<b^2+c^2なんですけど、これって三平方の定理を不等式に変えたやつですか？この式がよく分からないんですけど、a^2がb^2+c^2より小さかったらaが鋭角という事が分かるんですか？三平方の定理は知ってましたけど、こんな使い方があるなんて知らなかったです。

回答No.2

R_Earl

> 画像の三角形について、さらにa＝４、cosA＝3/4というのがわかったとき、sinAを求めたいんですけど、
> 普通にＡの方から見てのsin、つまり4/6もしくは4/5じゃいけないんですか？

だめです。
sinやcosやtanを求める時は直角三角形で考えるのですよね？
この図の三角形は直角三角形ではないのでだめです。

例えばこの図の∠Aが仮に40°なら、
「cosA = 3/4」というのは「40°の角を持つ直角三角形のcos値」を指します。

補足

おおおおおっとそういうことだったんですね！！！
ありがとうございます！

回答No.1

imapr

三角比は直角三角形で考えなくてはなりません。
この場合、AもBもCも直角ではないので、単純に　高さ／斜辺　で求めることはできません。

余弦定理は勉強しましたか？
余弦定理を使うとcosAを求めることができます。
あとはsinA^2+cosA^2=1の公式をつかってsinAの値を求めるだけです。

実際に計算してはいませんが、これで解けるはずです。

補足

なるほどー。
でも、sinA^2+cosA^2=１の公式も三角比の公式ですよね？ってことはなんで直角三角形じゃない三角形にこれを使えるんですか？

それと、画像が見えにくいんですけど
辺の長さはc-6じゃなくてc＝6とc＝5です！