よく考えたんですけど…

質問

『べき零行列は正則でない』というのを証明できずに頭を悩ませてます。このテの問題の証明でよく使われるような公式を使っても結論が出ません。よろしくお願いします！！！

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

norimotsuさん、こんにちは。
正解が出ていますが・・・＃２さんの補足です。

まず、正則行列とは、
n次正方行列に対して、AX = XA = En となる行列 X が存在するとき、A は正則行列であるという。また X を A の逆行列といい A-1 で表す。

ということです。
さて、今、べき零行列をＡとします。
すると、Ａ＾ｎ＝０（零行列）ということになります。・・・（☆）

また、「べき零行列が正則」であると仮定して、矛盾を導けば
「べき零行列は正則ではない」ということになりますね。

行列Ａが正則であるとは、上の定義より、逆行列A^(-1)が存在することです。

では、その逆行列を、ｎ個、（☆）の両辺にかけてみればいいのです。
A^(-1)*A^(-1)・・・A^(-1)A*A*・・*A=A^(-1)*・・*A^(-1)*0=0
　　　　　　　　　　　　↑
ここは、単位行列になっていますね
左辺は、単位行列n個の積です。
右辺は、零行列。
となって、左辺≠右辺で矛盾が生じます。

お礼

返事遅くなってすいませんm(_ _)m補足まで送っていただき感謝しています☆

回答No.2

noname#24477

Ａ^-1が存在するとすれば、そのｎ乗を両辺にかけて
（Ａ^-1）^n（Ａ^n）＝Ｅ＝Ｏ
になって矛盾

お礼

返事が遅くなってすいませんm(_ _)m解答ありがとうございます☆

回答No.1

oshiete_goo

A^n＝Ｏ
両辺の行列式を考えると
(detA)^n＝0
detA＝0

お礼

返事遅くなってすいませんm(_ _)m早くに解答を送ってくれてありがとうございました。