コーシーの積分定理を利用して

質問

∫-∞→∞ 1/(x^2+1)を求めよという問題で、
途中に、
∫a→-a |dz|/|z^2+1|≦∫0→π adθ/(a^2-1)
という式が出てくるのですが、
なぜこのような関係が成り立つのか、
わかりません。

z=ae^iθを代入してこの関係を導こうと試みましたが、
私の手には負えませんでした。
この関係の導き方を教えてください。

回答No.1

m0r1_2006 · ベストアンサー

∫a→-a |dz|/|z^2+1|
はたぶん，半径 a>>1 の円弧上を -a -> a 反時計回り　までの
線積分のこと．
１．この円弧上で |z^2+1| は， a^2-1 より大きい．
２．円弧の長さは，pi a
だから，
∫a→-a |dz|/|z^2+1| < pi a /(a^2-1)

お礼

回答を読んでよく考えたら納得できました。
助かりました。ありがとうございます。