問題の解き方を教えてください

質問

１から９までの数字を１つずつ書いた９枚のカードがある。このカードを裏返してよくかき混ぜたあと、１枚ずつ裏面に１から９までの数字を１つずつ書いていく。このとき９枚中５枚だけ表と裏の数字が一致する確立はいくらか？
どのように考えれば解けるのか教えてください。お願いします。

回答No.5

kony0 · ベストアンサー

この問題の前に、
「１から４までの数字を１つずつ書いた４枚のカードがある。このカードを裏返してよくかき混ぜたあと、１枚ずつ裏面に１から４までの数字を１つずつ書いていく。このとき、４枚とも表と裏の数字が一致しない確率はいくらか？（あるいは場合の数は何通りか？）」
という問題はありませんでしたか？

上の問題なら、そもそも全部で２４通りしかなく、そのうち該当するのが９通りであることは、書き出すなりなんなりで対応できます。（＊）

実は、ご質問の問題は、これと密接に関係していて、
結論からいうと、（9C5×９）／９！が答えです。

分子のうち、9C5は、１～９の数字のうち、表と裏が一致する数字５つを選んでいます。
そのうしろの９というのが、まさに（＊）で言った９通りです。（４つのものを並べたときに、表と裏が一致しない並べ方）

この、「○番目に○がこない並べ方」というのは「名刺順列」「完全順列」という名前がついていて、この問題は、まさにこれがテーマになっています。

お礼

ありがとうございました

回答No.9

noname#19881

すみません。#7＆#8の者です。
本当に勘違いしてました。
#7＆#8は共に正しくないことに気づきました。
#2の方が正解だと思います。
本当にすみませんでした。

回答No.8

noname#19881

#7に補足します。
#7は最初の５枚が「当たり」最後の４枚が「はずれる」確率でした。
問題は、ただ「９枚中５枚だけ表と裏の数字が一致する」
つまり、ただ９枚中４枚「はずれる」だけですので、
#7で導いた式の答えにさらに、９枚中４枚「はずれる」組合せを
掛けなければなりません。すなわち

１／９＊１／８＊１／７＊１／６＊１／５＊３／４＊２／３＊１／２＊１／１＊（９＊８＊７＊６）／（４＊３＊２＊１）

となるわけです。
間違えてしまってすみません。

回答No.7

noname#19881

９枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが本当にその数字に「当たる」確率は、１／９です。残った８枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが「当たる」確率は、１／８です。同様に、１／７、１／６、１／５（５枚まで「当たる」確率）となります。あとは「はずれる」確率です。残った４枚のカードから１枚取って、数字を書こうとするカードが「当たる」確率は１／４なので、「はずれる」確率は３／４となります。同様に２／３、１／２、１／１となります。したがって、求める確率は

１／９＊１／８＊１／７＊１／６＊１／５＊３／４＊２／３＊１／２＊１／１

で求められないでしょうか。

回答No.6

kony0

majornaさんに対しての補足ですが、

＞ただ、一枚目あたったかどうかは、
＞数字は伏せられているわけですから、
＞次の数字が一致するかどうかには関係ないのでは。。？

というのは、当たっているともいえるし、はずれているともいえます。

完全順列の樹形図を書いてみるとわかるかと思いますが、１枚目になにをおくかによって、樹形図の形状が異なります。ということで、そんなに単純な代物ではない。

４つの完全順列でいくと、
　／１―４―３
２―３―４―１
　＼４―１―３

　／１―４―２
３―４―１―２
　　　＼２―１

　／１―２―３
４―３―１―２
　　　＼２―１

となり、１枚目に「２」があるときと１枚目に「３」があるときで、単純に「２」と「３」を入れ替えただけの樹形図にはなっていない。ということから、「１枚目になにを
入れたかによって、２枚目以降の入れ方には関係ないとは言いがたい」です。

ただし、これにはトリックがあって、
（１―２―３―４枚目）
　　／１―４―３
　２―３―４―１
　　＼４―１―３

（１―３―２―４枚目）
　　／１―４―２
　３―２―４―１
　　＼４―１―２

（１―４―３―２枚目）
　　／１―２―３
　４―３―２―１
　　＼２―１―３

というように、樹形図の並び方の意味合い（各樹形図の一番上に書いた括弧書きのこと）も含めて「２」と「３」を入れ替えると、実は「１枚目になにを入れたかによって、２枚目以降の入れ方には関係ないといえそう」です。

じゃぁいったいどっちなんだい！と思われるかもしれませんが、この４つの並び替えの場合、
「１枚目と２枚目に３と４を使ってしまった場合は、３枚目と４枚目に入れる入れ方は２通りある」
「１枚目と２枚目で３と４を使い切っていない場合は、３枚目と４枚目に入れる入れ方は必然的に１通りと決まる」
ことが上の樹形図から読み取れます。
だから、本質的には、「ある時点までの入れ方によって、それ以降の入れ方は影響を受ける」（独立でない）といわざるをえません。

回答No.4

majoruma

すみません、ご指摘どおりですね～
Ｐ＝１/９×１/９×１/９×１/９×１/９
×８/９×８/９×８/９×８/９　

↑の１/９と８/９の並び方の順番は関係ないので、
すべての１/９と８/９の並び方を
↑の式にかけてやらなければなりませんでした。
○５個と●４個の並び方は１２６通り（かな？）
なので、
回答＝Ｐ×（○５個と●４個の並び方（１２６？））です。

ただ、一枚目あたったかどうかは、
数字は伏せられているわけですから、
次の数字が一致するかどうかには関係ないのでは。。？

回答No.3

noname#24477

＃１さんの考え方でもっと簡単な問題にあてはめてみると
３枚のカードを３枚とも当てることをやってみると
1/3*1/3*1/3＝1/27
になりますけど
３枚のカードを適当に並べても６通りしかありませんから
違います。

これは１枚目があたったかどうかで２枚目以降のあたる確率が
変わってくるためだと思います。

回答No.2

noname#24477

カードの並べ方を考えればいいです。

すべてのカードを並べる並べ方は９！

全部のカードが順番に並んでいる中から４枚を入れ替えます。
だからまず４枚を選ぶのが９Ｃ４、その４枚を
（たとえば１，２，３，４を）同じ数字のところに来ないように並べ替えます。
それをａ通りとすると

（ａ＊９Ｃ４）/9!

ａ通りについては丁寧に数えてもいいし
４枚の並べ方４！（２４通りしかない）から
全部同じになるのは１通り
３枚だけ同じになるのは無し
２枚だけ同じになるのは・・・
１枚だけ同じになるのは・・・
と数えて引いてやる、のでも良いのではと思います。

お礼

ありがとうございました

回答No.1

majoruma

まず、
一枚について考えます。
裏向きにしてあるカードに数字を書いて一致する確立は、
１/９　です。
一致しない確立は、８/９　です。

次に
９枚中５枚一致するときの確立なので、
１/９の確立が５回起こり、
８/９の確立が４回起こればいいので、
このときの確立はＰは、
Ｐ＝１/９×１/９×１/９×１/９×１/９
×８/９×８/９×８/９×８/９
です。
このとき問題からの内容から、順番は関係ないので、
順番は考えなくても良いです。