場合の数

質問

0000から9999までの４桁の電話番号のうち、４つの数字の値がだんだん大きくなるものは何個あるか

この問題の解き方教えてください！

回答No.2

lusa

「４つの数字の値がだんだん大きくなる」というのを、
0479のように四桁の数(0を含む)から順に大きくなる
(等しくなるのは除く)と解釈して回答すると、下のようになります。

四桁の電話番号をxyzw(ただしx,y,z,wは0以上の整数)とします。
(例えば1267だったらx=1,y=2,z=6,w=7見たいな感じになります)
そうすると求める個数は、
0≦x<y<z<w≦9となるような組(x,y,z,w)の個数…(1)
と同じになります。

例) (x,y,z,w)=(1,3,6,8)
0｜1｜2｜3｜4｜5｜6｜7｜8｜9
*｜x｜*｜y｜*｜z｜*｜*｜w｜*
a→←-b-→←c-→←--d--→←e
(a:0とxの差、b:xとyの差、c:yとzの差、d:zとwの差、e:wと9の差
この場合はa=1,b=2,c=2,d=3,e=1)

つまり(1)は
a+b+c+d+e =9-0 =9(a≧0,b≧1,c≧1,d≧1,e≧0)を満たす
組(a,b,c,d,e)の個数と同じになります。
(つまり0とx、xとy、yとz、zとw、wと9の差(a,b,c,d,e)の和
が9になり、xとy、yとz、zとwの差(b,c,d)が1以上となれば良い)

さらにこれは
A+B+C+D+E =9-3 =6(A≧0,B≧0,C≧0,D≧0,E≧0)を満たす
組(A,B,C,D,E)の個数と同じになります。

つまり6個のボールを4個の仕切りで仕切る
方法の数に等しくなります(下図のような感じ)。

○○｜｜○｜○｜○○

よって求める個数は6個のボールと4個の仕切りを順列させて
(6+4)Ｃ4 = 10Ｃ4 =210
よって210通りになります。

回答No.1

naniwacchi

「だんだん大きく」の定義がどうかにもよりますが、２４４７のように等しい数はないものとして考えることにします。

たとえば、上１ケタが「０」のときは
１，２，３，４，５，６，７，８，９
の９つから数を３つ選び、小さい順に並べればいいことになります。
つまりは、9Ｃ3として求められます。

上では上１ケタを固定しましたが、固定しなくてもいいのです。
となれば、求める式は・・・
数字を書きならべて、考えてみてください。

お礼

ありがとうございました