- ベストアンサー
ラグランジュの未定乗数法に関する記述について(陰関数)
g(X,Y)=0の陰関数表示されたものは、今までXY平面でZ=0で表示される曲線だと思っていたんですが、本に「g(X,Y)=0は、XとYの陰関数で図形的にはZについて何の制約もないのでZ軸に平行な曲面を表す」とあり???つって感じです。 XY平面に平行でかつZ=0での曲線ではないんでしょうか? お詳しい方教えて下さい。宜しくお願いします。
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
関連するQ&A
- ラグランジュの未定乗数法
条件g(x,y)=0の下で、z=f(x,y)の極値を求める。 g(x,y)=0は、xとyの陰関数でありz軸に平行なある曲面を表す。 z=f(x,y)の全微分は、dz=(∂f/∂x)*dx+(∂f/∂y)*dyより、(dz/dx)=(∂f/∂x)*1+(∂f/∂y)*(dy/dx) dz/dx=f_x(x,y)+f_y(x,y)*(dy/dx) ここでzは、g(x,y)=0の条件によりxの1変数関数となっている。 一方、z=g(x,y)とすると、z=g(x,y)=0となり、これは恒等的に0である。よって、全微分もdz=(g_x)*dx+(g_y)*dy=0となる。 dy/dx=-g_x(x,y)/g_y(x,y) dz/dx=f_x(x,y)-[{f_y(x,y)*g_x(x,y)}/g_y(x,y)] (x,y)=(a,b)の点で、この曲線が極値をもつとき、dz/dx=0となる。 dz/dx=f_x(a,b)-[{f_y(a,b)*g_x(a,b)}/g_y(a,b)] f_x(a,b)={f_y(a,b)*g_x(a,b)}/g_y(a,b) g_x(a,b)≠0のとき、両辺をg_x(a,b)で割り、{f_x(a,b)/g_x(a,b)}={f_y(a,b)/g_y(a,b)} ここで、{f_x(a,b)/g_x(a,b)}={f_y(a,b)/g_y(a,b)} =λとおくと、f_x(a,b)=λ*{g_x(a,b)}, f_y(a,b)=λ*g_y(a,b) このλが未定乗数である。 質問がいくつかあります。 まず、初めに条件になっている『g(x,y)=0はz軸に平行な曲面を表す』とあります。これは、z=g(x,y)=0とは違いますよね? z=g(x,y)=0はz=0なので、xy平面上の関数になり、z軸に平行な曲面にはならないと思うのですが。 次に、全微分可能な関数z=f(x,y)の全微分はdz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dyと表され、これは∂z/∂x=f_x(x,y)+f_y(x,y*)(dy/dx)と表す事ができ、この左辺はzがxとyの2変数関数のためdz/dxとならずに∂z/∂xとなっています。この証明においてz=f(x,y)の全微分を求める際に『ここで、zはg(x,y)=0の条件により、xの1変数関数となっている』とありますが、これはどういう意味でですか? z=f(x,y)の曲面とg(x,y)=0の曲面が交わった所は曲線になるのは分かります。そしてこの曲線はxの値を一個定めると、それによってyの値が決まるので、zも決まる。よってzはxの1変数関数となるのでしょうか? そして、『z=g(x,y)とおくと、z=g(x,y)=0とおくと、これは恒等的に0。よって、その全微分もdz=(g_x)*dx+(g_y)*dy=0』とありますが、まずこの意味を簡単に説明していただけますか。『よって』の前後がどう繋がっているのが分かりません。『z=g(x,y)=0とおく』となっていますが、この場合z=g(x,y)=0は前述したようにxy平面上のグラフになると思うのですが、なぜg(x,y)=0をz=g(x,y)=0と置き換えたのかが分かりません。dy/dxの値を求めるためでしょうか? 自分の書いた所に、誤解やちんぷんかんぷんで意味が分からない所があれば指摘してください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ラグランジュの未定乗数法
いつも有り難く利用させていただいております。 今回は、ラグランジュの未定乗数法について少々お聞きしたいのですが、 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/derivative/lagrange.htm のラグランジュの未定乗数法の説明のところで、("A_x"でAをxで偏微分することを意味している) 制約条件をG( x , y , z )=0 、( a , b , c )で、極致を求めたい関数をF(x , y , z )としておくと、 このとき、G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F は x , y の関数になるので、( a , b , c )において、 F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0 が成り立つ。 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。 G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0 そこで、( a , b , c )における -F_z/G_z の値を、λ とおくと、 F_z+λG_z=0 が成り立ち、 さらに、F_x+λG_x=0 、 F_y+λG_y=0 が成り立つ。 したがって、4つの式 G=0 、F_x+λG_x=0 、F_y+λG_y=0 、F_z+λG_z=0 を解くことにより、極値を与える候補の点( a , b , c )が求められる。 と、記載されているのですが、 G( x , y , z )=0 から、z が x , y の関数になっているとすると、関数F はx , y の関数になるので、( a , b , c )において、 F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0 が成り立つ。 ここで、z_x 、z_y は、次の式により与えられる。 G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0 の部分の、 F_x+F_z・z_x=0 、 F_y+F_z・z_y=0 と、 G_x+G_z・z_x=0 、 G_y+G_z・z_y=0 の式はどのようにして出てきているのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラグランジュ乗数法のはいりで…。
ラグランジュ乗数法を学ぼうとしています。まだラグランジュ乗数法の式を使って、問題を解くなどはしてないのですが、その解説の部分で腑に落ちないところがあったので、質問させてください。 その記述は、 g(x,y) = xy - 36 = 0 の条件のもとで、 f(x,y) = 2x + 3y の極値を求めることを考える。求める極点をxy平面上に落とした点をAとし、極点そのものをBとする。これは等高線g上を動く点がAを通過する瞬間、その上空では z = f(x,y) = 2x + 3y 内の曲線が谷底あるいは山頂になっていることを意味している。動点Bは等高線g上を動いているので、全微分方程式 dz = gxdx + gydy において、 dz = 0 である。 とあるのですが、なぜ動点Bは等高線上を動くのでしょうか?動点Bはxy平面上の双曲線に沿って動く(xy平面を上から見下ろした時に、双曲線に沿って動く)と思うのですが、点自体は f(x,y) = 2x + 3y 上にあるので、等高線上は動かないと思うのですが…。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- ラグランジュの未定乗数法!!
x^2+y^2+z^2=1 である時、 1、関数x-y-zの最大値 2、関数x-y-zの最小値 をラグランジュの未定乗数法で求めよ。 以上の回答、解説どなたかお分かりになりませんでしょうか??? よろしくおねがいいたします!!!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ラグランジュ 未定乗数法
条件:x+y=1 関数:f(x,y)=2x^2+3y^2 があり、関数が最小になる(x,y)を求めるとします。 この場合、条件x+y=1は直線でf(x,y)の等高線に接していなければならなくて、このことは接点で両者の法泉ベクトルが平行であることをいみするそうです。 また直線の法線ベクトルがは(1,1)^T T:転置行列 であるのですが、なぜ直線の法線ベクトルがこうなるのか分かりません;; また、ラグランジュの未定乗数法において F(x,y,λ)=f(x,y)-λg(x,y)---------(1) と表せる理由がわかりません。 なぜ、f(x,y)からλg(x,y)は引かれているのでしょうか。 また、(1)式をx,y,λで偏微分した式を解くことで解が求まる理由も教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学
xyz空間において、xz平面上で曲線C1:z=sinx(0≦x≦π)とx軸で囲まれた図形をD1とし、yz平面上で曲線C2:z=sin^y(0≦y≦π)とy軸で囲まれた図形をD2とする。またtが0≦t≦πの範囲を変化するとき、2点P1(t,0,sint),P2(0,t,sin^2t)を結ぶ線分P1P2が動いて描く曲面をD3とする。図形D1、D2、曲面D3、xy平面の4つで囲まれる立体図形Kの体積Vをもとめよ。 (解) x=y=tで立体図形をz軸に平行なるように切ってできた平面の面積は 1/2・√2・t(sint+sin^2t)=√2/2{tsint+(1-cos2)/2} よって求める体積は V=√2/2∫(0→π){tsint+(1-cos2)/2}dx =√2/2[-tcost+sint;1/4t^2-1/2tsin2t-1/4cos2t]0→π =√2/2(π^2/4+π-5/4) と考えたのですが、間違っていないでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 効用関数と無差別曲線
ミクロ経済学において、効用関数 U=U(x,y) というのは、 UをZとすると、(しなくてもいいのですが) 例えば z= 2xy などの3元の方程式で、 x,y,zの各軸をもつ三次元で表すと、右上が高い山の斜面のような曲面を表し、 zを特定の値にした平面で、曲面を切断したときに切断された部分の曲線が、無差別曲線ということで良いのでしょうか?
- ベストアンサー
- 経済学・経営学
- 多変数の陰関数定理について
こんにちは。f(x,y,z)=0,g(x,y,z)=0という2つの方程式であらわされる曲面で、y=φ1(x),z=φ2(x),という陰関数がある点の近傍において存在するためには、その点でfy×gz-fz×gy=/=0( fyはfをyで偏微分という意味で=/=0は0でないという意味です。)が成り立たなければならないのはなぜですか?おしへてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コンピューターミシン CPS72の電源をONにしても針が上下せず、異音も鳴ります。針上下ボタンを押しても反応しません。
- 釜の中や糸の絡まりはないため、他の原因が考えられます。
- ブラザー製品についてのトラブルで、どう対処すればいいか分からない。
お礼
回答ありがとうございます。 今まで、 g(X,Y)=0 と g(X,Y)=Zがおなじものだと思っていたんですが、違うということですね。 例えば、関数が X+Y-1=0のような場合、前者はXとYのみの関係式になりこれはZがどのような値であろうが関係なくXとYのみの関係式を満たせばよいということになり、後者はX+Y-1=ZでXとYのとり方によって出力される値がZとなるので、前者はZ軸に平行な曲面を表すといえる という理解でよろしいでしょうか? 重ねての質問ご容赦ください。