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次の問題なのですが。
次の問題なのですが。 高さがh,半径がrの円錐がありこの中に円柱Lが内接している。 (1)この円柱Lの体積をV1とするとき、V1の最大値を求めよ。 (2)さらにこの円柱の上にできたスペースにもう1個小さい円柱が内接している。この体積をV2とするとき、V1+V2の最大値を求めよ。 1番はまず、円柱の半径と高さをそれぞれaとbで表し、断面の三角形の相似の関係からaをbで表し、V1=πa^2b2代入しました。そしてこれがbの3次式にあるので微分をして最大値を求めました。その結果b=h/3となり、体積は(4/27)πr^2hとなりました。 2番はまず、1番と同様に小さい円柱の半径をc,高さをdとおき、円柱の高さが円錐の1/3になる事を利用して同じように相似の関係からcとdをbで表しました。その結果V1=Ab(h-b)^2+,V2=(4/81)A(h-b)^3となりました。(A=πr^2/h^2)です。) V1+V2を微分して整理すると、 (V1+V2)´=(1/27)A(77b^2-100hb+46h^2) 因数分解は見つからなかったので解の公式でだして b=(23/77)h となり、体積は (972/5929)πr^2h というとんでもない数になりました。もっと簡単な数のなると思うのですが、解の公式でルートかちゃんと取れるのであっているのかなとも思います。でもこれだけ数が大きいとやっぱり怪しいです。計算間違いや考え方が間違っているのかなと見直しましたが間違っていません。だれか解いて下さい。よろしくお願いします。長くて本当にすいません。
- heero01
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- oshiete_goo
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#2ですが,後半も#1さんのご回答通りが正しくて,#2はV2の議論で係数を誤っていて(たまたま質問者さんとは一致)誤りでした.お詫びして撤回させて下さい. 混乱させて申し訳ありませんでした. eatern27さんの#1の(2)のご回答どおり a=18/23r のときに max(V1+V2)=(108/529)πr^2h です.
- eatern27
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#1です。 V2は(4/81)A(h-b)^3にはならないと思います。 #1で私が書いた、(4/27)πr^2hでもいいですが、別の方法で求めるのなら、 (1)のV1と(2)のV2の相似比がh:(h-b)であるから、 体積比はh^3:(h-b)^3 V2=(4/27)πr^2h *(h-b)^3/h^3=(4/27)A(h-b)^3となります。 それから、先ほど、 >正しくは >(V1+V2)´=(1/27)A(77b^2-100hb+23h^2) と書きましたが、これは、V2=(4/27)A(h-b)^3となるのを前提としています。 でも、もしV2=(4/81)A(h-b)^3であったとしても、(V1+V2)´=(1/27)A(77b^2-100hb+46h^2) にはならなそう・・・。 そもそも(1/27)A(77b^2-100hb+46h^2)=0は解なしでは?
- oshiete_goo
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質問者さんの解釈と答案どおりで正しく出ているのではないでしょうか. [ひょっとして,元の問題がV1の最大値のときに円柱を固定して次にV2を動かしてV2の最大値を求めるという話ならば,元と相似で,残りの円錐の高さ1/3,半径2/3で,和の最大値V1+V2=(140/729)πr^2h などとなりそうですが,これでは面白くないので多分違っているのでしょう. でも間抜けな問題ならばこれかも.] なお,計算においては,1-(b/h)=t などとおいて,tを主役にしてなるべく無次元量で書く(a/rやb/hの比の値に着目),あるいはいっぺん立式してから書き換えるなどして, πr^2hの部分を括ってしまって残りの数係数の部分のみを計算していくと比較的楽で,t=54/77で最大(すなわちb=(23/77)h)です.
- eatern27
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(1) 円柱Lの底面の半径をa,高さをbとすると、 r:h=(r-a):bであるから、b=h(r-a)/r V1=πa^2b=πa^2h(r-a)/r f(a)=a^2(r-a)とすると、 f'(a)=-3a^2+2ar=-a(3a-2r) なので、a>0であることから、f'(a)=0⇔a=2r/3 (この時、b=h/3) 増減表より、maxV1=(4/27)πr^2h (2) V1の底面の半径がa,高さがbの時に (1)と同様に maxV2=(4/27)πa^2(h-b) =(4/27)πa^3h/r (∵b=h(r-a)/r) V1+maxV2=πa^2h(r-a)/r+(4/27)πa^3h/r=πa^2h{r-(23/27)a}/r g(a)=a^2{r-(23/27)a}とすると、 g'(a)=2ar-(23/9)a^2=-a{(23/9)a-2r} a>0より、g'(a)=0⇔a=18/23r 増減表より、 max(V1+V2)=(108/529)πr^2h だと思います。 >V1=Ab(h-b)^2+,V2=(4/81)A(h-b)^3となりました。 とありますが、V2は(4/27)πa^2(h-b)になりませんか? (1)の答えの(4/27)πr^2hの rをaに,hを(h-b)にするだけだと思うので。 もしかしたら、私の計算が間違っているのかもしれません。 V2=(4/81)A(h-b)^3 が正しいのなら、(972/5929)πr^2h であっています。 ちなみに、計算結果はあっているようですが、 >(V1+V2)´=(1/27)A(77b^2-100hb+46h^2) 正しくは (V1+V2)´=(1/27)A(77b^2-100hb+23h^2) ですね。これは(h-b)で因数分解できます。 V1もV2も(h-b)^2の項があるため、bで微分すると、(h-b)で因数分解できる事が分かります。従って、(V1+V2)もbで微分して、(h-b)で因数分解できなければ、間違いということになります。 長々とすいませんでした。
お礼
どうもこんな長い計算を解いて下さってありがとうございます。これをもとにもう一回考えてみたいと思います。
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お礼
ありがとうございます。やっぱりb=(23/77)hなんですね。 >なお,計算においては・・・ ありがとうございます。これから努めてそうしていきます。