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正多面体の頂点の座標
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質問者が選んだベストアンサー
wd0 さんという数学者の方のブログ経由です。 http://d.hatena.ne.jp/wd0/20090728 良い論文があるそうです。
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- stead2009
- ベストアンサー率23% (5/21)
そうですね、２次元の場合は偏角の整数倍がたまたまzの整数乗と対応しているため上手くいきました。が立体の場合は全く勝手が違います（頂点同士の間の角も立体的に色々なことになってますし…） そもそも方程式の解と三次元の点を対応させるのが難しいってことですかね。（考えてみるのは面白いかもしれません）
お礼
うーむ。色々探しているのですが、なかなかそのようなアプローチをしているのが出てこないです。 もう少し探すなり自力で考えてみることにします。
- stead2009
- ベストアンサー率23% (5/21)
２次元の場合は複素数の積で偏角は和になるという性質の為上手くいきます。しかし、三次元の場合、同様なものを考えようにも演算によって群にならないですから（例えばX軸まわりに回転させてさらにY軸まわりに回転させたもの、と、回転の順番を逆にしたものは一致しません）そのまま一般化というわけにはいかないとおもいます。
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど。演算操作が群を為さないときには一般式化しづらい、ということでしょうか。 一般式化できない、というのは、同等な演算操作で頂点を求めてゆくことはできないということに等しいでしょうか。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
(3次元の) 正多面体は 5種類しかありませんから, 全部列挙するのが最も簡単だと思います.
お礼
回答ありがとうございます。 はい。列挙する、それぞれの多面体ごとに固有なやり方で頂点を求めて行く、というのは、よく web にも落ちており、実際にそれらを活用して値を求めることはできております。 知りたいのは、それらが一般化された方式で求めることができるのかどうかという点になります。
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お礼
ありがとうございます。 http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jhdcpe/?p=baeede46029e489f9df9a3152c6cd8f6π=2 ここで求める感じになるでしょうか ($34 か。。。)。 まずは読んでみようと思います。
補足
uniform polyhedron (統一多面体？) というのを定義して、77 種類の多面体をそれぞれ異なる Wythoff 記号という定数の組を以て表すようです。単一の式には収まらないかもしれませんが、単一のアルゴリズムで全てを表そうと、力技でくっつけた感じでしょうか。 まださわりしか読んでおりません。なかなか和訳が。。。w 章建ては次のとおり。 1. Introduction 2. A Beief Review of Wythoff's Kaleidoscopic Constructions and Symbols 3. The Vertex Figure and Vertex Cycle of a Uniform Polyhedron 4. Enumerative Quantities 5. A Vertex of a Non-Snub Uniform Polyhedron 6. A Vertex of the Snub Uniform Polyhedron | p q r 7. A Vertex of the Sole Uniform Polyhedron | p q r s 8. Metrical Quantities of the Orthoschemes 9. Expressions for φ in Terms of the Wythoff Elements 10. Duals of Uniform Polyhedra 11. Some Simplified Formulas Unique to Regular Polyhedra 12. Relative Facial Twists and Edge Lengths of the Snub Polyhedron 13. Relative Facial Twists for Any Snub Polyhedron | p q r 14. The Infinite Families of Uniform Prisms and Antiprisms Appendix A. Essential Equations and Angles for Uniform Snub Polyhedra | p q r Appendix B. The 77 Wythoff Symbols and Corresponding Vertex Cycle Symbols 附録に具体的な Wythoff 記号を構成する数値が書かれています。