有限要素法における任意点位置の求め方

質問

アイソパラメトリック要素の連続体構造のなかに任意点が存在しています。この任意点がどの要素内あるかを知る方法をご存知の方はご教授下さい。
宜しくお願い致します。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

任意点を点Ａと呼び、その座標値を（ｘ0，ｙ0、ｚ0）とします。
要素形状に、全く何も仮定を置かない場合には、をもとに、座標関数
ｘ＝ｆ1（ξ，η，ζ）
ｙ＝ｆ2（ξ，η，ζ）
ｚ＝ｆ3（ξ，η，ζ）
を逆に解いて、（ｘ0，ｙ0、ｚ0）に対する（ξ0，η0，ζ0）を求め、
ξ0，η0，ζ0　が、要素の定義範囲内に入れば、その要素内に所属すると言えます。
この時、要素がｎ次なら、連立ｎ次方程式を解く必要があります。

ただし、点Ａを含まない要素では、実数解を持たない場合があります。
また、点Ａが理論上、ある要素に所属する場合でも、判定条件の設定の仕方が厳密だと（たとえば｜ξ0｜≦１などとすると）、所属するはずの要素に所属しない、という事態も発生し得ます。

辺が直線、面が平面、などという条件を課すと、連立ｎ次方程式を解かずに済む方法があります。それは、
(1)点Ａを起点とし、各要素頂点に至るベクトルを考え、
(2)そのうちの１個を基準にとり、
(3)基準ベクトルに対する他のベクトルの偏角を、符号を含めて計算し、
(4)偏角の最大のものと最小のものの差θmaxをとり、
(5)θmaxが180°未満のある値θlim以下なら、所属しない、
と結論できる方法があります。

(1)～(5)は、一般形状の要素に対しても、θlimを適正に設定すれば、明らかに所属しない要素を予め除外するのに用いるのに利用できます。

(注)　理論上は180°未満なら所属しないと言えるのですが、数値計算誤差から、そうはならない場合もあるからです。

補足

h191224様
ご回答ありがとうございました。
連立方程式を解く方法というのは、補間関数、形状関数と考えれば宜しいのでしょうか。