線形代数

質問

ｎ次の実正方行列C,Dに対して、CDの全ての固有値が必ずDCの固有値であることを示せ。
この問題をどのようにして解けばよいかまったくわからず、困っています。宜しくお願い致します。

回答No.2

reiman · ベストアンサー

「Iをn次未満次単位行列とし」
は
「Iをn以下次単位行列とし」
の間違い。
nを外す必要はないし、外してはいけない。

Eをn次単位行列とし
Iをn以下次単位行列とし
Rを左上にIが位置し残りはすべて成分0のn次行列とし
U,Vをそれぞれn次正則行列として
基本変形によりCはR化され得るからC=URVとおける。
|CD-sE|
=|URVD-sE|　（C=URVより）
=|RVDU-sE|　（左からU^-1を掛け右からUを掛ける）
=|VDUR-sE|　（RとVDUの交換,(注)）
=|DURV-sE|　（左からV^-1を掛け右からVを掛ける）
=|DC-sE|　　（C=URVより）

(注)：
Fをk次正方行列とし
Gをk行n-k列行列とし
Hをn-k次正方行列とし
Oをn-k行k列零行列としたとき
|F G|
|O H|
=|F||H|
また、
Fをk次正方行列とし
Gをn-k行k列零行列とし
Hをn-k次正方行列とし
Oをk行n-k列行列としたとき
|F O|
|G H|
=|F||H|

お礼

どうもありがとうございます。まだ完璧に理解できてないですが大変参考になりました。

回答No.1

reiman

Eをn次単位行列とし
Iをn次未満次単位行列とし
Rを左上にIが位置し残りはすべて成分0のn次行列とし
U,Vをそれぞれn次正則行列として
基本変形によりCはR化され得るからC=URVとおける。
|CD-sE|
=|URVD-sE|　（C=URVより）
=|RVDU-sE|　（左からU^-1を掛け右からUを掛ける）
=|VDUR-sE|　（RとVDUの交換、Rの性質から可能）
=|DURV-sE|　（左からV^-1を掛け右からVを掛ける）
=|DC-sE|　　（C=URVより）