空気抵抗のある振り子

質問

質量mのおもりを長さLの紐に付けた振り子が空気抵抗を受けながら運動する。抵抗力はおもりの速度に比例し、その比例定数はa（a＞0）で表わされ（a/2m）^2＜g/Lが成り立つ。振り子が鉛直線と角度θ0をなす状態から初速度なしに動きだしたとすると、その後、角度θはどのように変化するのか。角度を時間の関数として表し、その慨形を図示せよ。角度θは十分小さく、その三角関数はマクローリン級数の第一項で近似できるとする。という問題を解いているのですが
　自力では重力と速度に比例する抵抗力と張力で運動方程式をx方向とy方向で一本ずつ作り、

mL・d^2cosθ/dt^2=mg-Ftcosθ-aL・dcosθ/dt…(1)

mL・d^2sinθ/dt^2=-Ftsinθ-aL・dsinθ/dt…(2)

の二本の式を(1)×sinθ-(2)×cosθで張力のFtを消去したところで行きづまってしまいました。
　慨形を書くためにtとθの関数を出せればいいのですが、微分方程式の知識に乏しいので、なにとぞよろしくお願いします。

回答No.1

Chaos9HEAd · ベストアンサー

ヒント：
d^2sinθ/dt^2　＝　(－sinθ)・d^2θ/dt^2

マクローリン展開（即ちθ＝0のまわりでのテイラー展開）の式は、
sinθ≒θ－1/3・θ^3＋・・・

θは、十分小さいのでθ^3≒0として近似するので、
sinθ≒θ
と言う事になります。

これでもう一度トライしてみてください。

お礼

dsin2θ/dtをわざわざ2cos2dθ/dtにしてけいさんしていましたが、dsin2θ/dt=dθ/dtとすれば解けそうです。ありがとうございましたm(__)m

補足

夜遅くに回答ありがとうございます(>_<)
mL・d^2θ/dt^2-2aL・dθ/dt+mgθ=0まで出せました。
コレを二階線形常微分方程式でとこうとして、特性方程式をおいて
mL・X^2-2aL・X+mg=0をXについてとこうと思ったのですが、解の公式のルートのなかがa^2・L^2-m^2・Lgとなりました。問題文には（a/2m）^2＜g/L、変形するとa^2・L^2-4m^2・Lg＜0とは出てきますが、ルートの中と一致しません。これでははんだんできずとけないのですが、
mL・d^2θ/dt^2-2aL・dθ/dt+mgθ=0に間違っている部分があるのでしょうか？