※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:空気抵抗のある振り子)
空気抵抗のある振り子の運動と角度の変化
このQ&Aのポイント
空気抵抗を受けながら運動する質量mのおもりを長さLの紐に付けた振り子の運動について解析しています。
振り子が鉛直線と角度θ0をなす状態から初速度なしに動きだしたとき、角度θはどのように変化するのかを求めています。
運動方程式を立てる際には、抵抗力や張力を考慮し、微分方程式を解く必要があります。
質量mのおもりを長さLの紐に付けた振り子が空気抵抗を受けながら運動する。抵抗力はおもりの速度に比例し、その比例定数はa(a>0)で表わされ(a/2m)^2<g/Lが成り立つ。振り子が鉛直線と角度θ0をなす状態から初速度なしに動きだしたとすると、その後、角度θはどのように変化するのか。角度を時間の関数として表し、その慨形を図示せよ。角度θは十分小さく、その三角関数はマクローリン級数の第一項で近似できるとする。という問題を解いているのですが
自力では重力と速度に比例する抵抗力と張力で運動方程式をx方向とy方向で一本ずつ作り、
mL・d^2cosθ/dt^2=mg-Ftcosθ-aL・dcosθ/dt…(1)
mL・d^2sinθ/dt^2=-Ftsinθ-aL・dsinθ/dt…(2)
の二本の式を(1)×sinθ-(2)×cosθで張力のFtを消去したところで行きづまってしまいました。
慨形を書くためにtとθの関数を出せればいいのですが、微分方程式の知識に乏しいので、なにとぞよろしくお願いします。
お礼
dsin2θ/dtをわざわざ2cos2dθ/dtにしてけいさんしていましたが、dsin2θ/dt=dθ/dtとすれば解けそうです。ありがとうございましたm(__)m
補足
夜遅くに回答ありがとうございます(>_<) mL・d^2θ/dt^2-2aL・dθ/dt+mgθ=0まで出せました。 コレを二階線形常微分方程式でとこうとして、特性方程式をおいて mL・X^2-2aL・X+mg=0をXについてとこうと思ったのですが、解の公式のルートのなかがa^2・L^2-m^2・Lgとなりました。問題文には(a/2m)^2<g/L、変形するとa^2・L^2-4m^2・Lg<0とは出てきますが、ルートの中と一致しません。これでははんだんできずとけないのですが、 mL・d^2θ/dt^2-2aL・dθ/dt+mgθ=0に間違っている部分があるのでしょうか?