• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

分散を計算する際の、E(X^2)の計算方法

こんにちは。 分散の公式は V(X) = E(X^2) - {E(X)}^2 ですが、この計算において E(X^2) はどう計算したらよいのでしょう? X^2とはどういう意味なのでしょう? 確率変数を二乗する場合の計算方法がわからないです。 例として、P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/2の場合で説明いただけると助かります。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.4

#3の補足に対して >E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2) >= 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=±2) >= 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3 これは間違いです。 >E(X^2) = Σx^2*P(X=x) >= 1^2*P(X=1) + (-1)^2*P(X=-1) + 2^2*P(X=2) >= 1*1/3 + 1*1/3 + 4*1/3 = 2 こちらが正しい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

その他の回答 (3)

  • 回答No.3

#1のものです。 >E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x) 違います。 #2でも述べられていますがx=xj^2となるのはx=xjの場合とx=-xjの二通りあります。 しかし、P(X^2=Xj^2)=P(X=Xj)+P(X=-Xj)である(X=XjとX=-Xjは排他であるため)から (Xj)^2*P(X^2=Xj^2)=(Xj)^2*P(X=Xj)+(Xj)^2*P(X=-Xj) =(Xj)^2*P(X=Xj)+(-Xj)^2*P(X=-Xj) と変形できますので、 E(X^2)=Σ[全てのj](Xj)^2*P(Xj) の表記で計算しても同じ結果になります。 この形で計算できると言わないと、一般的なσの表記が難しくなります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

P(X=1) = 1/3, P(X=-1) = 1/3, P(X=2) = 1/3 のとき、 E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2) = 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=±2) = 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3 前の捕捉で書きました、これはあっていますか? 貴殿の説明ですと、 E(X^2) = Σx^2*P(X=x) = 1^2*P(X=1) + (-1)^2*P(X=-1) + 2^2*P(X=2) = 1*1/3 + 1*1/3 + 4*1/3 = 2 となり、答えが変わるような気もするのですが。。

  • 回答No.2
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

正確に書くなら、   E(X^2) = Σ(x^2)*P(X^2=x^2) かな。 または新たな確率変数Y=X^2を用意して   E(X^2) = E(Y) = Σy*P(Y=y) とも書ける。 Y=X^2より   Σy*P(Y=y) = Σ(x^2)*P(X^2=x^2)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

ということは、たとえば P(X=1) = 1/3, P(X=-1) = 1/3, P(X=2) = 1/3 のとき、 E(X^2) = Σx^2*P(X^2=x^2) = 1^2*P(X=±1) + (-1)^2*P(X=±1) + 2^2*P(X=2) = 1*2/3 + 1*2/3 + 4*1/3 = 8/3 となるのでしょうか? (ここでは、P(X=±1) = P({X=1}∪{X=-1})としました)

  • 回答No.1

X^2は単に確率変数Xの2乗のことです。 E(X^2)はX^2の値の期待値です。 E(X)=Σ[全てのj]Xj*P(Xj) というのは知っていると思います。 E(X^2)=Σ[全てのj](Xj)^2*P(Xj) のことです。 X^2=(Xj)^2となる確率はP(Xj) (X=-Xjの場合は別途足し合わせる) >例として、P(X=1)=1/2, P(X=2)=1/2の場合で説明いただけると助かります。 E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)=1*(1/2)+2*(1/2)=3/2 E(X^2)=(X1)^2*P(X1)+(X2)^2*P(X2)=1^2*(1/2)+2^2*(1/2)=5/2 となります。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からの補足

E(X) = Σx*P(X=x) のとき、 E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x^2) ではなく E(X^2) = Σ(x^2)*P(X=x) になるという理解でよろしいでしょうか?

関連するQ&A

  • 統計ー分散;σの2乗ー計算

    X=1,2,3,4,5 に対して確率関数p(x)が各1/15、2/15、3/15、4/15、5/15 のとき分散:σの2乗を計算したら 平均は3/15=1/5だから σ^2=E(x^2)-(平均)^2 からσ^2=15-1/25=14.96 となりましたがあっているでしょうか。 分散が15だといわれてもイメージがわかないのですが。 (先に分散が直線にのる例なので、このような規則的な場合の分散は、計算する前に慣れていれば15くらいというのがでてきそうにおもうのですが。誰か納得いく説明をお願いいたします。

  • 分散の計算

    二項分布の分散の計算についてお教えください。 母集団9千万人から3千人を抽出し、ある案件について世論調査をします。賛成と反対のどちらかであり、賛成率(賛成の割合)をpとします。 二項分布で近似し、標本の賛成率の分散は p(1-p)/3000 となると説明されたのですが、3000で割るところが わかりません。 二項分布の分散は確率変数をXとすれば V(X)=p(1-p) と表され、 分散には V(X1+X2+...Xn)=np(1-p) の性質があるので、 上記の問題では3000p(1-p)ではないか?と いう気がするのですが?

  • 平均と分散を求める問題なのですが

    A={1,2,3,4,5}の要素を次の確率にしたがってとる確率変数Xを考える、以下を求めよ、 答えは既約分数で示せ。 P(1)=1/2 P(2)=1/4 P(3)=1/8 P(4)=P(5)=1/16 (1)Xの平均E[X]、分散V[X] を求めよ。 (2)|X-3|の平均E[|X-3|]、分散V[|X-3|] を求めよ。 (1)の答えをE[X]=31/16 V[X]=367/256 (2)の答えをE[|X-3|]=-(209/16) V[|X-3|]=-(9071/50) という風になったのですがこれであっているのでしょうか? どうか答え合わせをしていただければ嬉しいです。

  • 共分散の計算について

    共分散の説明問題で、 全体(変数XとY)での分散は12.54で、変数Xの分散は15.76、変数Yの分散は12.90だとこの二つの変数の得点間の共分数は正の値で8.06になる。 と教科書に書いてあるのですが、 私は何度やっても負の値-8.06になってしまします。 どうやって出したか、計算式をどなたか教えていただけないでしょうか? 簡単すぎる質問かもしれませんが、よろしくお願いします。

  • 分散について

    以下のような問題があります。 問題 「正規分布(μ1,σ1^2)に従う確率変数x1と、 正規分布(μ2,σ2^2)に従う確率変数x2の積 y=x1・x2の分散V(y)をμ1,μ2,σ1,σ2で表せ」 この問題を解きたいのですが、つまってしまいました。 とりあえず、 V(y)=V(x1・x2) =E((x1・x2)^2)+E(x1・x2)^2 とすすめていくと思うのですが…。 答えの導き方を教えてくださいm(_ _)m

  • 分散…

    分散の数式を解きたいのですが… ある確率変数Xの期待値α=E(X)=∫-∞~∞xp(x)dxとします。p(x)は確率密度関数です。 Xの関数f(X)の期待値はE〔f(X)〕=∫-∞~∞f(x)p(x)dxであります。 Xの分散Var(X)はf(x)をf(x)=(x-α)^2としたものの期待値なので Var(X)=E(X-α)^2 を解くと,E(X^2)-α^2になります。 では,Var(aX+b)だとどう計算すればいいのでしょうか?a,bは定数です。E(aX+b-α)^2でいいのでしょうか? 答えはa^2Var(X)となっています。 また確率変数がX1,X2の2つで,各期待値がα,βとする時,Var(X1+X2) はどうでしょうか?E(X1-α)^2+E(X2-β)^2でしょうか? 答えは,Var(X1)+Var(X2)+2E〔(X1-α)(X2-β)〕となっています。 はじめの式で,合っているのか違っているのかわからない状態です… よろしくお願いします。

  • 期待値と分散が知りたいです。

    統計学の質問ですがお願いします。 下の中の6番がわかりません 母集団全体における内閣支持率をp(pは未知定数)とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「1」、しない場合は「0」と変数Xに記録する。 1、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。 2、Xの期待値と分散を求めよ。 無作為抽出をn回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。 3、S=X1+X2+…+Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。 4、Sの期待値と分散を求めよ 5、X_(←エックスバーです)=S/nと定義する。X_は何を意味しているか答えよ 6、X_の期待値がpと分散p(1-p)/nになる。その証明過程を説明せよ。 わかる範囲でいいのでおねがいします。

  • 期待値と分散を知りたいです。

    統計学の質問ですがお願いします。 下の中の6番がわかりません 母集団全体における内閣支持率をp(pは未知定数)とする。母集団から無作為に抽出し、支持する場合は「1」、しない場合は「0」と変数Xに記録する。 1、Xは確率変数である。Xの確率分布を求めよ。 2、Xの期待値と分散を求めよ。 無作為抽出をn回独立に復元抽出で繰り返したとする。この無作為標本から得られた回答を上記と同様にX1、X2、…Xnに記録したとする。 3、S=X1+X2+…+Xnとすると、Sはなにを意味するか答えろ。 4、Sの期待値と分散を求めよ 5、X_(←エックスバーです)=S/nと定義する。X_は何を意味しているか答えよ 6、X_の期待値がpと分散p(1-p)/nになる。その証明過程を説明せよ。 わかる範囲でいいのでおねがいします。

  • あるサイコロの分散について

    分散を求める問題困っています かたよったさいころ10回投げる試行を行う ここで1の目、4の目が出る確率はそれぞれp 2の目、5の目が出る確率はそれぞれq 3の目、6の目が出る確率はそれぞれr とする ただし p、q、r>0、p+q+r=1/2 とする さらに1の目が出る回数をX、 5の目が出る回数をY 3の目が出る回数をZとする X、Y、Zの分散をそれぞれV(X)、V(Y)、V(Z)とする。 このとき、V(X)+V(Y)+V(Z)の最大値とp、q、rのその時の値をもとめよ 必要なら(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)を用いてもよい 私の考えは独立試行なので V(X)+V(Y)+V(Z)=V(X+Y+Z)とし、 E(X+Y+Z)=10(p+q+r)=5 までは分かったのですが E({X+Y+Z}^2)について、どういう式にすればよいのか分かりませんでした。 特にどのように変数p,q,rを組み込むのか、また分散の最大値の求め方を詳しく教えてください どこかで(x+y+z)^2=<3(x^2+y^2+z^2)の式を用いるのだと思うんですが・・

  • 分散の計算

    V(2X+3Y)-21=Cov(X+Y,X-Y)-2=0を満たす確率変数X,Yの分散V(X),V(Y)の値を求めよ。という問題なのですが、V(2X+3Y)=4V(X)+9V(Y)+12Cov(X,Y)となるのはわかるのですが、Cov(X+Y,X-Y)をどのように扱ったらよいのかわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。