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代数的整数とは何ですか?
本などで代数的整数というものを見かけるのですが、 これはどういうものなのでしょうか? 検索したり本などを見てみましたが、どういうものか分かりませんでした。 どなたか定義と例を教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- dasugedegg
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因数分解の話は、どこから湧いてきたのでしょうか? 有理係数であれば、最高次の係数が1か否かは 全く問題になりません。 方程式の両辺を、最高次の係数で割ってしまえば、 どの式でも「最高次の係数が1」になるからです。 monic であるか否かは、多項式の係数環が体でない ときのみ意味を持つ概念です。 > 係数が1より小さくなることがあるのでしょうか? 1より小さい整数というのは、零または負のことですか?
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- arrysthmia
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←No.4 そうですね。「定義は正確に」でした。 毎度の陳謝と訂正: 『最高次の項の係数が1である整係数多項式の根である複素数を代数的整数と呼ぶ』 です。 多項式の根、方程式の解ですね。確かに。 ちなみに、「代数方程式」の定義は、多項式=0 という方程式のことです。 それはともかく、代数的整数を定義する上で、多項式が monic かどうかは 本質的ですよ。元大統領。
- rinkun
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ANo.1です。引用した定義が不正確だとの指摘があるので、定義を正確に。 # ANo.1の定義の不正確さは部分的な引用によるものです # 引用元のサイトの記載に問題があるということではありません 代数的整数とは、最高次数の係数が1である整数係数の代数方程式の解である数。 ここで、代数方程式とは、多項式=0で表される方程式のことです。 たとえばx^2-2=0は整数係数の代数方程式で、さらに最高次数の係数が1ですので、この解である√2は、代数的整数です。 なお、関連の語彙についても記すと。 代数的数とは、有理数係数の代数方程式の解である数。 # ここは整数係数の代数方程式としても同じ 超越数とは、代数的数でない数のこと。 超越数の例としては円周率πやネイピア数(自然対数の底)eがあります。
- Tacosan
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あれ? ・整数係数「代数方程式」の解が「代数的数」 ・最高次の係数が 1 であるような整数係数「代数方程式」の解が「代数的整数」 ですよね>#3. 代数的数でないのが超越数.
- arrysthmia
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定義は正確に。 『最高次の項の係数が1である整係数多項式の解である複素数を「代数的整数」と呼ぶ』です。 「整係数」が抜けると、「代数的整数」ではなく、「代数的数」になります。
- koko_u_u
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>本などで代数的整数というものを見かけるのですが、 >これはどういうものなのでしょうか? その本を読めばいいのでは? 説明もなしに代数的整数の単語だけ登場しているのですか?
- rinkun
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http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch02/node32.html 検索してみましたが、上記サイトでは分かりませんか。 定義は「最高次の項の係数が1である多項式の解である数を「(代数的)整数」と呼ぶ」ですね。 例としてはルート2などが挙がっています。
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お礼
皆さん回答ありがとうございます。 しかし、「最高次の係数が 1 であるような整数係数」というところが分かりません。 要は、因数分解したその答えだということだと思うのですが、 因数分解して係数が1より小さくなることがあるのでしょうか? 後、次数0として定数項くらいでしょうか?