加算と減算が繰り返される数列の極限値を求めたいです。

質問

数学の問題を解いている際、非常に頭を悩ませる箇所に遭遇してしまいまして・・・
次の極限値を求めてください、といった問題です。

(1)1-(3/4)^2+(3/4)^4-(3/4)^6+(3/4)^8・・・
(2)3/4-(3/4)^3+(3/4)^5-(3/4)^7+(3/4)^9・・・

テキストでは分かりにくいかもしれませんので、添付した画像もご覧いただければ嬉しいです。

これらの式が、(1)は16/25に、(2)は12/25という値に収束するそうなのですが、計算の過程が全くうまくいきません(ToT)
nの式に一般化して、n→∞で極限を求めればいいと思うのですが、nの式にできないのです(>_<)

数学が得意な御方、お力をお借しいただければ幸いです<m(__)m>

回答No.1

proto · ベストアンサー

(1)は、初項a=1,公比r=-(3/4)^2の無限等比数列の和です。
|r|<1より収束します。

(2)は、初項a=3/4,公比r=-(3/4)^2の無限等比数列の和です。
こちらも|r|<1より収束します。

等比数列の和を求める公式がありますので復習してください。
その公式を適用して、n→∞とすれば解答が得られます。

お礼

公式見つけました！

初項a≠0、公比rの無限等比級数が収束するための必要十分条件は|r|<1であり、そのときの和は、

S=a+ar+ar^2+・・・+ar^n-1+・・・=a/1-r

というやつですね(^_^;)

私には、公比の値が全く思いつきませんでしたね～確かに、解答通りの値を求めることができました(>_<)
protoさん、どうもありがとうございました<m(__)m>