分数がはいった方程式の解き方

質問

実効利子率の計算で

94000=(3000/1+r)+(3000/(1+r)2乗)+(103000/(1+r)3乗）
のとき方を猿でも分かるように解説していただけませんか。

回答No.6

banakona · ベストアンサー

因数分解で３次方程式を解く方法を紹介します。（先に言っておきますが、ご質問の方程式は、因数分解ではうまく解けません。）

例として、　６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１＝０　　・・・（＊）
という３次方程式を解く場合を考えます。

ｆ（ｘ）＝６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１と置いて、ｆ（α）＝０となるαを探します。闇雲に探すのは大変ですが、コツがあります。

αの第１の候補：定数項またはその約数。
　　ここで定数項は－１なので１と－１が候補。でも残念ながらｆ（１）もｆ（－１）も０になりません。　
αの第２の候補：定数項またはその約数を、ｘ^3の係数またはその約数で割ったもの。
　　ここでは、ｘ^3の係数は６なので、さきほどの１と－１を、６、－６、２，－２，３、－３で割ったものを代入していきます。
　　そうするとｆ（－１／２）＝０となることが分かります。つまりα＝－１／２。

ｆ（α）＝０のとき、ｆ（ｘ）は、（ｘ－α）（ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ）と因数分解できることが知られています（因数定理）。
６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１＝０　の場合、ｆ（－１／２）＝０でしたから　（ｘ－（－１／２））（ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ）＝０、つまり（ｘ＋１／２）（ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ）＝０　と因数分解できることになります。
あとは、ｘ＋１／２＝０とａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０を解いて、ｘを求める。

ｘ＋１／２＝０は簡単（というか既に解いている）なので、ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０を求め、それを２次方程式の解の公式や、因数分解で解けばいい。

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の求め方：ｆ（－１／２）＝０と分かっているなら、組み立て除法が簡単なのですが、説明が面倒なので、筆算の割り算風に解き、説明を省略します。係数だけを取り出して書いた筆算の過程を、下図に示します。
赤字で「６　　５　　－１　　－１」とあるのが、６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１のこと。その左にある「１　　1/2」がｘ＋１／２です。要するに、通常の割り算は百の位、十の位、一の位と分けて計算しますが、それを項ごとに分けて行なっているだけです。だから、一番上にある「６　　２　－２」が商であり、これは　６ｘ^2＋２ｘ－２　を表しています。
つまり、６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１＝（ｘ＋1/2）（６ｘ^2＋２ｘ－２）
となります。商は２でくくれるので、　６ｘ^3＋５ｘ^2－ｘ－１＝２（ｘ＋1/2）（３ｘ^2＋ｘ－１）
よって　ｘ＋1/2＝０　または　３ｘ^2＋ｘ－１＝０　
３ｘ^2＋ｘ－１＝０は因数分解できないので、２次方程式の解の公式を使うと　ｘ＝（－１±√13）／６
これと　ｘ＝-1/2　が３次方程式（＊）の解。

で、本問の場合ですが、＃１さんが立てた方程式では、定数項１０３が素数なので第１の候補が±１と±１０３しかない。そしてこれらのいずれもｆ（α）＝０とはならない。第２の候補を算出するためのｘ^3の係数９４は、２と４７を約数に持つものの、±１や±１０３を±２、±４７、±９４で割っても、ｆ（α）＝０とはならない。＃３さんの方程式でも大差ありません。
これはお二人が悪いのではなく、問題の方程式は、係数が整数のレベルでは因数分解できないことを意味しています。因数分解で解けない３次方程式は、カルダノの公式という解の公式を使うか、＃１さんのおっしゃるニュートン法などで数値的に解くことになるでしょう。因みに私は＃１さんの方程式を２分法で解きました。いずれにせよ手計算するのはしんどい。

試験では手計算を使うということなので、おそらく因数分解で解けるものが出るのでしょう。責任はとれませんが。

お礼

何度も回答いただきありがとうございます。

この方法が試験で使うには現実的だと思います。
じっくり読ませてもらって自分のものにできるよう頑張ります。
ありがとうございました。

回答No.7

f272

#4の続きです。
解の精度がこれでも悪いと考えるなら、もう少し計算が大変になるけれど2次方程式にもできます。
94(1+r)^3-3(1+r)^2-3(1+r)-103=0
を2乗まで展開して3乗の項を無視すれば
94(1+3r+3r^2)-3(1+2r+r^2)-3(1+r)-103=0
となるので
94+282r+282r^2-3-6r-3r^2-3-3r-103=0
279r^2+273r-15=0
93r^2+91r-5=0
となります。この2次方程式を根の公式で解くために判別式Dは
D=91*91+4*93*5=10141
ですから
√D=100.7
であり、r=(-91+100.7)/(2*93)=0.0521

ただし√D=100.7はD/10000=1+0.0141だから(D/10000)^(1/2)=√(D)/100=1+(1/2)*0.0141=1.00705から導いています。

回答No.5

noname#101087

#3 はミスあり。謹訂正。
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たまたま x^3 の項が支配的なので、これから初期近似解を。
　xo = (94000/103000)^(1/3) = 0.9700....
Newton 逐次解法だと、そのあと 4 回目で残差零(ただし、EXCEL にて)へ収束。
　x = 0.95046....
　r = 0.05212....

お礼

ご回答ありがとうございました。

EXCELでこのような問題も解けるんですね。
参考にさせてもらいます。
ありがとうございました。

回答No.4

f272

94x^3-3x^2-3x-103=0
これを手計算で解くのは容易ではありません。近似解でよければ
まずx=1+rだから
94(1+r)^3-3(1+r)^2-3(1+r)-103=0
ここで近似的に(1+r)^2=1+2rと(1+r)^3=1+3rであることを使って
94(1+3r)-3(1+2r)-3(1+r)-103=0
273r=15
となってr=約0.0549
もう少し精度をあげるために
94000 = 3000/(1+r) + 3000/(1+r)^2 + 103000/(1+r)^3
を
94 = 3(1+r)^(-1) + 3(1+r)^(-2) + 103(1+r)^(-3)
と変形して、近似的に(1+r)^(-1)=1-rと(1+r)^(-2)=1-2rと(1+r)^(-3)=1-3rであることを使って
94 = 3(1-r) + 3(1-2r) + 103(1-3r)
318r=15
だからr=約0.0471になる。これと先ほどのr=約0.0549の平均でr=約0.051

お礼

お返事ありがとうございます

これは非常に難しい問題だったんですね。
まだ充分に消化できていないのですがもう一度じっくり考えてみます。

回答No.3

noname#101087

94000 = 3000/(1+r) + 3000/(1+r)^2 + 103000/(1+r)^3

1/(1+r) = x　とすれば、
　94000 = 3000*x + 3000*x^2 + 103000*x^3
このまま解くんでしょうね。

たまたま x^3 の項が支配的なので、これから初期近似解を。
　xo = (94000/103000)^(1/3) = 0.9700....
Newton 逐次解法だと、そのあと 3回目で残差零(ただし、EXCEL にて)へ収束。
　x = 0.9697....
　r = 0.03127....

回答No.2

banakona

＃１さんの続き。「猿でも分かるように」は無理っぽい。

ｘ＝1.052120096・・・となるようです。
つまり　ｒ＝ｘ－１＝０．０５２１２００９６・・・

３次方程式なので、あと２つ解を持ちますが、この方程式の場合、それは虚数になるので不適。

こんなに精度が要らないなら、エクセルのゴールシークを使うという手もあります。

お礼

早速のお返事、ありがとうございました。

No.1の方へのお礼にも書いたのですが試験では手計算で解かなくてはならないので、3次方程式の解き方を分かりやすく解説していただけないでしょうか。

ネットでは因数分解で解く方法が分かりやすいと書いてありましたが・・・。

回答No.1

rnakamra

1+r=xとおくと

94000=3000/x+3000/x^2+103000/x^3
となります。
このような場合はまず分数を消すのが先決です。
x,x^2,x^3の公倍数x^3を両辺にかけます。

94000x^3=3000x^2+3000x+103000
これは3次方程式になります。

見やすくするために左辺に移項。
94000x^3-3000x^2-3000x-103000=0

桁が大きいのです両辺を1000で割る。
94x^3-3x^2-3x-103=0

この3次方程式を解くにはニュートン法などの方法で解きます。
(代数的に解くことは可能ですがちょっと面倒)

お礼

早速ありがとうございます、とても参考になりました。
しかし

94x^3-3x^2-3x-103=0
以降の3次方程式の解き方が分かりません・・・（汗）
試験ではパソコンではなく手計算でとかなくてはならないので、
通常の因数分解で解く方法を分かりやすく解説していただかないでしょうか？
ネットで3次方程式を調べてみたのですが、いま一つ分からないので。