二次関数

質問

次の関数の最大値、最小値があれば、それを求めよ。
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1

という問題なんですが解き方がわかりません。解説していただけると助かります。

回答No.4

mister_moonlight · ベストアンサー

＞回答が間違っているのでしょうか・・・？

回答が正しく、君が（他の回答者も）間違い。

x^2-2x＝mとすると、x^2-2x-m＝0でxは実数から、判別式≧0.　つまり、m≧-1　‥‥(1)
y＝m＾2＋4m-1＝（m+2）＾2-5　‥‥(2)
よって、(1)の範囲で(2)の最大値と最小値を考えると、グラフを書けば分かるだろうが、m＝-1で最小で、その時のyの値は　-4.
最大値はない。

お礼

解決しました＾＾ありがとうございます

回答No.3

rnakamra

#2の回答について

>ところで、今回最小値をとるときのxの値が複素数になってしまいますが、複素数を習っているのであればxの値も出すべきです。今回問題のレベルからおそらく複素数はまだかなと考え省きましたが、もし習っていればそちらも出してください

xが複素数でも可とすると、この式のyはどんな値でもとることが可能になります。xが全ての複素数をとりうるのなら、sもどんな複素数でも取ることができるのです。
平方形式x^2≧0が成り立つのはあくまでxが実数だからであり、xが複素数値を取ることができるのならx^2はどんな値にでもなることができます。

回答No.2

cacao86

2次関数の問題では、基本的に(1)y=ax^2+bx+cの形か(2)y=a(x-p)^2+qという形に変形します。どちらに変形すべきかは問題によりますので一概には言えませんが、今回の問題のように最大値最小値を求めるときと言うのは後者の形が普通だと思います。

今回の問題では、普通に展開→変形では4次関数の形になってしまいます。しかし、よく式をみると、(x^2-2x)という形が複数ありますよね。今回は、s=(x^2-2x)とでもおいて、2次関数の形に変形します。するとy=s^2+4s-1となりますね。コレを(2)の形にしますと、y=(s+2)^2-5になります。こうすると2次関数のグラフが描けると思いますが、そのグラフをみると下に凸なグラフであり、かつ最小値が-5だとわかるはずです。
以上より、最小値-5となります。最大値は、xの値が範囲指定されていませんので、求めることが出来ません。グラフは無限大に伸びてしまいますので。

ところで、今回最小値をとるときのxの値が複素数になってしまいますが、複素数を習っているのであればxの値も出すべきです。今回問題のレベルからおそらく複素数はまだかなと考え省きましたが、もし習っていればそちらも出してください

お礼

丁寧な解説ありがとうございます＾＾

補足

最小値-5というところまでは出たのですが、
なぜか回答のほうをみると、x=1で最小値-4とあり、t≧-1 となっていました。回答が間違っているのでしょうか・・・？

なんどもすみません；

回答No.1

naniwacchi

(x^2-2x)でまとめられているので、式は展開せずに考える方がよいと思います。
・とりあえず、t=x^2-2xとでも置いてみましす。tの2次関数になります。
・置いた tについて、条件があるかどうかを考えます。言い換えると、xがすべての実数を動いたときに tの値はどうなっているかということです。

微分するという方法もありますが、おそらくまだ範囲外のところだと思いますので。

お礼

素早い回答ありがとうございます＾＾