三角関数の問題です。教えてください。

質問

次の問題を教えてください。

sinΘ＋cosΘ＝√２のとき、
（↑ ２が√に入りませんでした。すみません。）
cos４Θを求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

Umada · ベストアンサー

bupu4uさんはヒントにとどめてくださったのですが、その間に答えを作ってしまいました・・・せっかくなので申し訳ないですがアップさせて下さい。最後の答えは伏せることにしましょう。

三角関数の中に入っているθを2θや3θに変換したければ、まずはsinθ、cosθの2乗や3乗を作ってみることです。(その理由は複素数を使ったexp(iθ)＝sinθ+i cosθなんて式をいじくっていると分かってくるのですが、今の段階ではちょっと目をつぶって下さい)

というわけで騙されたと思って二乗を作ってみましょう。
与式の両辺を二乗すると
　sin^2(θ)+cos^2(θ)+2sinθcosθ=2　　　(1)
が得られますが、この式は直ちに
　1+2sinθcosθ=2　　　(2)
と変形できます。2sinθcosθは倍角公式からsin2θに等しいですから
　sin2θ=1　　　(3)
が求まります。最初に挙げた式変形の方針に従って、またこの2乗を作ります。
　sin^2(2θ)=1　　　(4)
求めたいのはcos4θですから、これを倍角公式で書き下すと
　cos4θ=cos^2(2θ)-sin^2(2θ)　　　(5)
です。cosの倍角表現はいろいろ変形できますが、今(4)でsin^2(2θ)が分かっていますから、これを使わない手はありません。
となれば
　cos4θ=1-2sin^2(2θ)　　　(6)
と変形する一手です。あとは分かるでしょう。

(細かい計算間違いはあるかも知れませんので、適宜チェック下さい)

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。

回答No.1

noname#16572

注意　ヒントだけです。

問題の式の両辺を√2で割った式を(1)とします。
次にsin(Θ+α)=1と言う式を考えて(2)とします。
(2)を加法定理を使って展開し(1)と比較します。
するとsin(α)=cos(α)=?
なら(1)(2)はうまく一致することがわかります。で、このときのαはすぐ決まりますね。これを(2)に代入すればΘが決まり、最後の答えは計算するだけ。
大変だけど頑張ってください。

お礼

一応答えがでました。ありがとうございました。