必要条件、、十分条件、必要十分条件について

質問

コンニチワ
必要条件、十分条件、必要十分条件について
区別の仕方がいまいちよくわかりません
分かる方教えて下さい
数Aの分野です
よろしくお願いします

回答No.12

pip_pip

Ａ、Ｂは集合とし、ＡはＢに含まれている状態とします。すなわちＡ⊆Ｂ。これが必要とか十分という言葉の前提です。このとき教科書等では“ＡはＢの十分条件”というと書いてます。この言葉の意味はですね、あるｘという元がＢに入っていることを知りたい時に、もしｘがＡの中に入っていることを言えれば、それで“十分”でしょ。だってＡはＢに含まれているんだから。これを言葉を換えて言えば“ｘがＢの元であるためにはｘがＡの元であれば十分である”といえます。さらに言葉を換えると“ｘがＡの元であることはｘがＢの元であるための十分な条件である”といえます。これをさらに短縮すると“ＡはＢの十分条件である”言えるわけです。

つぎに必要条件ですが教科書等ではＡ⊆ＢのときＢはＡの必要条件というと書いてます。これはですね、あるｘという元がＡに入っていることを言いたいときに、少なくともＢに入っていることは“必要”ですよね。だってＡはＢに含まれているんだから、ＢにはいっていなければＡにもはいってない。つまり“ｘがＢの元であることがｘがＡの元であるために必要な条件”なわけです。すなわち“ＢはＡの必要条件”というわけです。
少し例を出しましょう。Ａ＝｛ｘ｜ｘは6の倍数｝、Ｂ＝｛ｘ｜ｘは3の倍数｝としますと“ｘが6の倍数ならｘは3の倍数”ですからＡ⊆Ｂが成立します。そこでｘが3の倍数であることを言うにはｘが6の倍数であると言えれば十分である。したがってＡはＢであるための十分な条件と言える。またｘが6の倍数であるためにはｘは3の倍数であることが必要である。したがってｘが6の倍数であることはｘが3の倍数であることが必要な条件である。すなわちＢはＡであるための必要条件です。
必要、十分という言葉はこういう事情で使われたのでしょう。

一般にＡ⊆Ｂのとき“ＡならばＢ”と言うことに注意してください。これは“ｘ∈Ａならばｘ∈Ｂ”すなわちＡ⊆Ｂと言う意味に解釈できます。もしこれに続き“ｘ∈Ｂならばｘ∈Ａ”も同時に成り立てばＢ⊆Ａも成り立ちＡ＝Ｂが言えます。このことは一般の集合Ａ，Ｂにも言えることです。

実践的な例を出します。一次方程式3ｘ+2＝５・・・（１）を解きます。
まず2を移行して３ｘ＝３・・・（２）。両辺を３で割ってｘ＝１・・・（３）
これを必要条件十分条件を考慮して分析しましょう。まず（１）を満たす解の集合をＡとします。（２）を満たす解の集合をＢとします。（３）を満たす解の集合をＣとします。そこで（２）の式は（１）から導き出されましたから（１）の解は、すべて（２）を満たすことがわかります。すなわちＡ⊆Ｂです。同じく（３）は（２）の式から導かれましたから（２）を満たす解はすべて（３）を満たします。したがってＡ⊆Ｂ⊆Ｃが成り立ちます。すなわち上の回答は厳密に言うとＣの元は１一個ですから“（１）に解があるならばそれは１である”ということが証明されただけなのです。（１）に解が存在するかどうかについては何も言ってないのです。ところがですね（笑、うまいことに（３）から（２）導かれます。（3倍してね！）また（２）から（１）をみちびきだせるのもあたりまえでしょ（笑。ということはＣ⊆Ｂ⊆Ａも成り立つんです。すなわちＡ＝Ｂ＝Ｃつまり3つの解集合は等しかったんです。だから（３）が答えなんです。【一般にＡならばＢが成り立っているときＡはＢに含まれています。】【ＢはＡより広がっていることに注意してください。】

もうひとつ。ｘ＋ｙ＝３・・・（１）ｘ－ｙ＝１・・・（２）
両辺を足して２ｘ＝４・・・（３）ｘ＝２・・・（４）（４）を（１）代入して２＋ｙ＝３・・・（５）　ｙ＝１・・・（６）

ここでｘ＝２を（２）代入してもｙ＝１が得られますがどうしてでしょう。（１）
と（２）を同時に満たす解の集合を“（１）かつ（２）”と書き、“ならば”を⇒で代用しＡ⇒ＢかつＢ⇒ＡをＡ⇔Ｂ（Ａ＝Ｂを意味する）で代用します。すると先ほどの解法を分析すると（１）かつ（２）⇔（１）かつ（３）⇔（１）かつ（４）⇔（４）かつ（５）⇔（４）かつ（６）。（４）かつ（６）から順にたどって（１）かつ（２）に戻れることを確認してください。この分析で（１）かつ（３）のところを（２）かつ（３）としても（４）かつ（６）にたどり着きますし元の（１）かつ（２）にも戻れます。だからｘ＝１をどちらに代入しても良いのです。

必要条件十分条件は数学の道しるべです。これを十分に使いこなせないと自信を持って問題が解けません。つまり必要条件十分条件を理解することは数学ができるための必要条件といえます（笑

回答No.11

jonny0520

数学的な議論は他の方がきっちりとやっているようなので、私はそれぞれの条件の「気分」について書きます。

必要条件の「気分」は、結果を認めてから前提条件を探る感じです。十分条件の「気分」は、なにか強い条件を持ち出して望ましい結果に持ち込む感じです。

例
(1) 「スポーツ選手として成功する」ための必要条件は「努力をすること」です。
　　（成功してたら、努力してるはずですよね。）
(2) 「テストで0点をとる」ための十分条件は「名前を書かないこと」です。
　　（0点をとる最終兵器です。）

言葉をかえると、
必要条件は「絶対にそうなってないとダメなんだけど、それだけじゃ足りないかもしれない」条件のことで、十分条件は「かならず結論が成り立つのだけど、絶対にそれじゃないとダメってわけでもない」条件のことです。

必要条件や十分条件についての勘所は、たくさん問題を解いているうちに身につきます。自分なりの理由を付けて解いていけば、ある日急に分かるようになると思います。（大学生でも分かりにくいので、高校生が分からないのも無理はないです。）
がんばって。

回答No.10

noname#120329

私はこういう具合に理解しました。長いですが、がんばって読んでください。
皆さんの覚え方もとても覚えやすいのですが、このように理解して覚えておくと、記憶に残りやすいですし、応用が利きます。
『「Ａ⇒Ｂ」を示すためにＡに（必要/十分）な条件である』ととらえてください。

『ＡがＢである（Ｂに含まれる）ことを確かめるためには、Ａがこの性質をもつことは必要だけど、それだけで十分とはいえない』という条件が、必要条件です。
「整数ｎは２である」ということを示すためにｎに必要な条件（必要条件）の一例として「ｎは偶数である」が考えられますが、偶数である、という条件だけでは、「整数ｎは２」とは言いきれません。よって、これは必要条件ですが、十分条件とはいえません。
逆に、ｎが偶数でなかった時、ｎが２になることはありえません。

『ＡがＢである（Ｂに含まれる）ことを確かめるためには、Ａがこの性質をもつことがわかればそれで十分』という条件が、十分条件です。
「整数ｍは偶数である」ということを示すためのｍの十分条件の一例として「ｍは２である」が考えられます。２は偶数なので、その時点でｍが２であることは決まってしまいます。でも、ｍが２でなかった場合も、ｍが４，６，８…ならこれは偶数ですから、ｍには４，６，８…の逃げ道が残されています。これが、十分条件です。

必要条件と十分条件の関係ですが、これはちょうど逆になっています。
必要条件とされる条件が満たされても、必ずしも題意は○（正しい）じゃない。
でも、満たされなければ、題意は絶対に×（まちがい）。
十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。
でも、十分条件が満たされなくても、必ずしも題意が×とは限らない。
こんな具合です。
で、必要十分条件ですが、これは必要条件と十分条件のいいとこ取りと考えてください。
必要十分条件が満たされれば、題意は絶対に○。
満たされなければ、題意は絶対に×。
ということです。必要十分条件は万能です。

まとめると、
『その条件が満たされても題意を示すには十分じゃないけど、必要（必ず要する）なわけだから満たされなければお話しにならない』というある意味ゆるい（満たされる範囲が比較的広い）けれど逃げ道を許さない条件が必要条件で、
『その条件が満たされれば題意は一発で示されるけど、満たされてなくても逃げ道は残されている』という厳しい（満たされる範囲が比較的狭い）けれども逃げ道の残された条件が十分条件です。
理解できましたか。

回答No.9

wredsh2

たとえば
ｐはｑであるための○○条件である。
○○に入るのは？
という問題で

ｐ⇒ｑ
ｑ⇒ｐを考えます。

そして、
(ⅰ)ｐ⇒ｑが真の場合
　　ｐのとこの矢印をみると

　　　　　｜　　―――――――
　ーーー十ーーー
　　　　　｜　　―――――――

漢数字の「十」が入ります！
よって「十」分条件が成り立つ！
(ⅱ)ｑ⇒ｐが真の場合
　　ｐのところの矢印をみると

　　ちょうど「必」という字に重なるように
　　矢印の斜めの部分が来ます！！
よって「必」要条件が成り立つ！

あとは、それの組み合わせです

注意点とすれば
「ｐはｑであるための…」
の左側にある「ｐ」のところを見ることです！

質問の答えになってないような気もしますが
こうやって見分けたらどうですか？？

回答No.8

nozomi500

みなさん、本格的説明をされていますので、シロウトっぽい説明をすれば、
　「野球で点を取ることは、勝つための必要条件」（点をいれなきゃあ勝てない）
　「相手を０点に抑えることは、負けないための十分条件」（とられなきゃ負けることはない）
　「相手チームより多くの点を取ることは、勝つための必要十分条件」（いずれも最終回まですんで、ということで）

　よく、延長戦のリミットがあるとき、最終回のオモテを０点に抑えたチームに対して、解説者が「これで負けはなくなりました」といってます。「負けないための十分条件」はひとつ満たしたわけですね。
　その裏、１点取ればサヨナラ勝ちですが、「相手より１点多くとった」ことによって、「勝つための必要十分条件」を満たしたので、それ以上続ける意味がなくなり、ノーアウトであっても試合終了です。（サヨナラホームランの場合は、１点で勝てるときに満塁ホームランを打っても、ちゃんと４点はいりますが）

回答No.7

puni2

ほぼ出尽くしていますが，少しだけ。
高校生のころ，こんな覚え方を聞きました。
「A→Bを救援物資の流れと考えると，Aは物資が十分あり，Bは物資を必要としている。」

ただ，面白い事は面白いのですが，それ以前にまずAとBの関係がきちんととらえられないとダメですね。
つまり，AとBという2つの命題が与えられた時，A→Bなのか，B→Aなのか，どちらでもないのか。
Venn図（orimotoさんの説明に出てきた図です）でいうと，AがBにすっぽり囲まれるのか，BがAに囲まれるのか，ぴったり重なるのか，一部重なるのか，全く重ならないのか，ということです。

それに加えて，単なる定義の棒暗記ではなく，できれば「必要」「十分」という用語の（日常用語としての）意味と関連させて理解しておくと，度忘れしたりごちゃごちゃになったりせずにすみます。
stomachmanさんのおっしゃるところの，「語感」でとらえるわけですね。

そこまでできていれば，あえて「救援物資」などの暗記法を持ちださなくても大丈夫でしょう。

回答No.6

nikorin

理屈ではなく、単なる覚えかたですが
「矢印が必要。矢印がなくても十分。」
Ａ→Ｂとしたとき、矢印の先端があるほう（Ｂ）が必要条件、
ないほう（Ａ）が十分条件というわけです。

回答No.5

orimoto

ぼくはビジュアル（図形的）に理解しています。

Bという大きな円、その中にすっぽり入ったAという円を考えてください。Aの領域は必ずBの領域に入っている。これはどう解釈できるかというと、Aの領域は「十分に」Bの領域に入っている。しかしBの領域は、必ずしもAの領域だけではない。つまりBの領域にAが入っていることは「必要」ではあるが、それがB領域のすべてではない（「十分」ではない）。これを「Aは十分条件、Bは必要条件」という。事実、動物（B）は犬（A）の必要条件だが十分条件ではない。他に猫や猿もいる。犬（A）は、動物（B)の十分条件だが必要条件ではない。犬は十分に（絶対）動物だが、動物のすべてが犬ではない、となります。

必要十分条件とは、AとBの２つの円が重なったとき。

いかがでしょうか？

回答No.4

stomachman

用語の定義は既に詳しく解説されていますが、やっぱりこれは「語感」の問題ですよね。

A→B　（AであるならばBである）という命題同士の関係の話です。

A→Bであって、しかももしAであることが分かっていれば、Bかどうか確かめなくても間違いなくBである。つまりAであるだけでBが成り立つには「十分」です。だから「AはBの十分条件」と言う。

一方、A→Bである場合、もしBであることが分かっていても、だからと言ってAであるとは言えない。（Aが成り立たなくてもBが成り立つことだってありうる。）
しかしながら、A→Bである場合、Aが成り立つためには、少なくともBが成り立たなくちゃいけない。（Bが成り立っていないのなら、それだけで、Aではないとハッキリ言える。）従って、Aが成り立つためにはBであることは少なくとも「必要」です。だから「BはAの必要条件」と言う。

つまり、「AはBの十分条件」というのは「BはAの必要条件」と全く同じ意味です。

さて、A←Bであり、しかもA→Bである場合、つまり、Aが成り立つ、ということとBが成り立つ、ということは等価である。同じ事を言い換えただけに過ぎない。この場合、
AはBの十分条件（＝BはAの必要条件）であり、しかもBはAの十分条件（＝AはBの必要条件）でもある。
これを、AはBの必要十分条件（＝BはAの必要十分条件）と言うんですね。

回答No.3

noname#5824

数Aの分野とのことなので、結論から言うと、

Ａ→Ｂ　であれば、
矢印の「根元」、つまりＡが十分条件、
矢印の「先」、つまりＢが必要条件になります。

Ａ←Ｂでも「根元」「先」という部分では同じです。
この場合、ＡはＢであるための必要条件、
ＢはＡであるための十分条件となります。

Ａ⇔ＢのようにＡ・Ｂともに「根元」であり「先」である場合、
ＡはＢであるための必要十分条件、
ＢはＡであるための必要十分条件ということになります。

なので、わからない時は矢印の方向を考えてみると
いいと思いますよ。

例）
　　Ａ：Ｘは６の倍数である。
　　Ｂ：Ｘは３の倍数である。

この場合、６の倍数なら３の倍数は成り立つけど、
３の倍数なら６の倍数というのは成り立ちません。
したがって、Ａ→Ｂしか成り立ちませんので、
ＡはＢであるための十分条件、ＢはＡであるための必要条件
ということになります。
反例(Ａ←Ｂにはならない例)として、Ｘ＝９という例を
あげればいいです。Ｘは他にもいろいろありますよ。