にゃんこ先生、高三の生徒からの行列の累乗の質問に悩む

質問

にゃんこ先生といいます。
高三の生徒から行列の累乗に関する質問を受けましたが答えることができませんでした。

まず、実数の変数xには、
x^2,x^3,x^4,…
と考えていくと、
奇数乗では、どんな値になることもできるが、
偶数乗では、負の値になることは決してできない、
という性質があります。

次に、実数を成分とする正方行列X、ここでは2行2列として、
X^2,X^3,X^4,…
と考えていくと、どんな対応する性質があるのでしょうか？
例えば、X=[[x y][z w]]として(x,y,z,w)を座標とする４次元空間を考えると、X^2の成分を座標とする空間は、部分空間になりますが、X^3を成分とする空間は、X^2に比べて、包含関係があったりはするのでしょか？

ハミルトンケーリーの関係式は知っています。
X^nたちの集合の包含関係についてどうか教えてください。

回答No.7

gef00675 · ベストアンサー

X^2=Aが実数解を持つ条件について、＃５を整理しました。

行列Ａ＝
a b
c d
の行列式
D=ad-bc
と、トレース
T=a+d
を用いると、固有方程式は
x^2 - T x + D = 0
とかけるので、X^2=Aが実数解を持つ条件は、TとDを用いて次のように表せます。

(0) A=0（自明な解）

または、固有方程式が

(1)重解x=0を持たないもの、（⇔べきゼロ行列でない）
　　(T, D) ≠ (0, 0)

のうち、つぎの(2)または(3)を満たすこと。

(2)非負の実数解を持つ（⇔Ａが半正値行列）
T≧0かつD≧0かつT^2-4D≧0

(3)実数解を持たない（⇔Ａが回転行列に相似）
T^2-4D＜0

直観的に納得のいく結果だと思います。

お礼

有意義なご解答をまことにありがとうございました。

回答No.6

gef00675

＃５　書き間違えました。
結論：「α＝β＝０かつA-αI≠０」以外の場合はX^2=Aは複素数の範囲で解をもつ。

２×２行列Ａが「固有値α＝β＝０かつA-αI≠０」という条件は、
Ａが零化指数２のべきゼロ行列
A^2=0かつA≠0
であることと同等ですから、
「2×2行列Ａが０以外のべきゼロ行列でなければ、X^2=Aは複素数の範囲で解をもつ」
といったほうがいいですね。

逆に、A^2=0かつA≠0であって、しかもX^2=AなるXが存在したとすれば、
X^4=A^2=0になるからＸはべきゼロ行列になるが、
・X=0の場合は、A＝0だから、不可。
・X≠0かつX^2=0の場合もA=0で、不可
・n≧3のときにX^(n-1)≠0でX^n=0になるようなものはない。２次元だから。
というわけで、逆も言えました。

「Ａを2×2行列とするとき、X^2=Aが複素数の範囲で解をもつための必要十分条件は、Ａが０以外のべきゼロ行列でないことである」

Ａを行列要素
a b
c d
で表すと、固有多項式
f(x)=x^2-(a+d)x+ad-bc
がx=0を重根にもつことから、
f(0)=ad-bc=0
f'(0)=-(a+d)=0
および、A≠0でないことから
a,b,c,dの少なくとも一つは０でない、
そのような場合はX^2=Aは解をもたないが、それ以外のＡの場合は解をもつ、と。

なんか自明な結論になってしまいましたが、これであってますか？

回答No.5

gef00675

やっぱり的外れだったか。

＞　X^2=Aが解を持つための条件

なるほど。こういう問題なら、鈍い私にもわかります。
Ａが実数を成分とする2x2行列で、
Ｘは複素数行列でもよいということですね。

Ａの固有値をα、βとする。（α、βは複素数）
(1) α＝βの場合、
　N=A-αIとする。
　もし、N=0またはα≠０なら、X^2=Aは解をもつ。
その解はα≠０なら２個あって、
　X=±√α I ±(1/(2√α))N　（複号は同順にとる）
　N=0なら、X=±√α I

(2)α≠βの場合、
X^2=Aは複素数の範囲で解をもち、
その解は４個あり、X=±√α P ±√β Q　（複号は４通りとってよし）
　ここで、P=(1/(α-β))(A-βI)、Q=(1/(β-α))(A-αI)

要するに、
＞　α≠βのとき、A^n=α^n P+β^n Q
＞　α＝βのとき、A^n = α^n I + n α^(n-1) N
の、nを1/2にしただけです。

結論：「α＝βかつA-αI≠０」以外の場合はX^2=Aは複素数の範囲で解をもつ。

つぎに、Xを実数成分に限定した場合、(2)α≠βは、さらに場合分けされて、

(3) α,βが虚数の場合
　α＝β~ （共役複素数）であることから、P=Q~。よって
　複素数αの平方根の一つを√αとかくことにすれば、
２個の実数解がある。X=±（√αP +(√αP)~)＝±2(√αPの実数部）

(4) α≧0かつβ≧0の場合（両方とも０のときはのぞく）
４つの実数解がある。X=±√α P ±√β Q　（複号は４通りとってよし）

(5) αとβのどちらかまたは両方が負の場合
　負数の平方根が虚数になるため、実数解はない。

ということになるでしょう。

ここまで書いて、あっているかどうか不安になってきた。上記以外に解がないことの証明になっていないからです。ほかに解が出てきたらどうしよう。

それと、もしかしたら、Aの４つの成分に関する条件（２次方程式の判別式的な）をお望みでしょうか。少々くたびれたので、すみませんが上記のことからご賢察ください。

回答No.4

Kules

これを書いた後で反対の意見がでてきたら相当恥ずかしいんですが書いてみます。
要は、
x^2=aが解を持つ⇔a≧0
x^2=aが解を持たない⇔a＜0

のようにaのみを見るだけで問答無用でｘの解の有無を判別できるようなものを、
X^2=AのAに求めることができるかってことですよね？
私はできないと思います。
高校の範囲で言えばこのような問題はハミルトン・ケーリーは一次変換でで解くと思うんですが、どちらにしてもXがどのような振る舞いをするかによって左辺の様子は大きく変わってしまうと思うんです。
ですので、Xによらない、X^2=Aの解の有無を判別できるようなAの条件というのはないと思います。

回答No.3

gef00675

あ、固有値が０だけの場合を忘れてた。
だから、
「対角化できない場合でも、Ｘに応じてそうなるようなＮを決めること」
は必ずしも可能ではないですね。

回答No.2

gef00675

生徒さんは何を聞きたいんでしょうね？
その子はケーリー・ハミルトンの定理
「f(x)=det(xI-A)=(何かxの多項式）とすると、f(A)=0」
は知っていると。
そして、固有値・固有ベクトルというものも知っていると。
固有方程式の解（＝固有値）が存在し（それをα、βとする）、
なおかつ、独立な固有ベクトルが２個とれれば(u, vとする)、
Au=αu, Av=βv、これを一個の行列にまとめて
AU=UM　（Mは対角行列）
とかくことができるから、
A=UMU^(-1)
をべき乗すれば、
A^n=U M^n U^(-1)
なるくらいのことは知っているんでしょうね？

まず、固有値が存在しなければならないといけないが、複素数の範囲まで考えれば、この点はクリアできる。Aが実数成分だけの行列なら、α、βが複素数になったとしても、所詮、共役複素数になるだけだから、α=a+biとかいて、
a -b
b a
の形のＭを考えれば、回転の行列の定数倍になるだけだから、三角関数を知っていれば、M^nを計算するのはたやすい。
このあたりまでも、高校生の範囲で理解可能ですよね。

だけど、問題は「独立な固有ベクトルが２個とれるか」でしょう。
まず、α、βが異なれば、それらに対応する固有ベクトルの方向が異なるＯＫです。
だから、複素数の場合もＯＫです。
では、α＝β（重解）だったらどうか？
Ａが対角化できる必要十分条件は、Ａの最小多項式が重解をもたないこと。
すなわち、２次元の場合なら、
g(A)=A-αI=0
の場合に限る。要するにAは単位行列の定数倍で、つまらんです。
では、固有値が重解で、なおかつ対角化できないときは、どうやったらA^nが固有値で表せるのか？
このときは、A-αIが0でないということなので、それをＮとおく。
A-αI=N
このNは、べきゼロ行列です。N^2=0。なんでそうなるかは、高校生相手なら、ケーリーハミルトンの定理あたりでごまかしておけばよいでしょう。
単位行列とNは可換だから、2項定理が使えて、
A^n = (αI+N)^n = α^n I + n α^(n-1) N + (Nの２乗以上の項）
N^2=0だったから、Nの２乗以上の項はすべて消えて、
A^n = α^n I + n α^(n-1) N
これが、固有値が重解のときのAのべき乗になります。

ところで、固有値が異なるとき（α≠β）に話をもどすと、
P=(1/(α-β))(A-βI)
Q=(1/(β-α))(A-αI)
とおくと、
A=αP+βQ
とかけますよね。しかも、
P^2=P, Q^2=Q, PQ=QP=0, P+Q=I
です。これは。。。そうです。射影です。これを確かめるのも、高校生相手なら、ケーリーハミルトンの定理なり、A=UMU^(-1)なりを使わせればいいでしょう。
ということは、
A^n=α^n P+β^n Q
で、話がすんでしまい、計算のややこしいＵ^(-1)は結局使わずにすみますね。
固有値が複素数のときは、べき乗をド・モアブルの定理で処理してもいいです。

こうして、２×２行列のべき乗はその固有値を用いて、
α≠βのとき、A^n=α^n P+β^n Q
α＝βのとき、A^n = α^n I + n α^(n-1) N
の形にしかならないのである！

と、生徒さんに諭しておいて、、、、さて、どうしよう。
「Aにどんな条件をつければ、AからA^nへの対応が全射になるか？」
でしたっけ？
A^n=Ｘとかくことにして、Ｘを勝手に与えて、そのn乗根みたいなものを考えればいいんですか？
Xの固有値が２個出てくれば、X^(1/n)=α^(1/n) P+β^(1/n) Q
としてしまっていいですね。
対角化できない場合でも、Ｘに応じてそうなるようなＮを決めることは可能ですね。

私には「包含関係」の意味がよくわからなかったけど、ご質問のヒントになれば幸いです。例によって的外れな回答だったらごめんなさい。

お礼

質問の意味がわかっていただけなかったのはとても残念です。

ひとつのことをいえば、行列方程式の判別式です。

実数の範囲で、
x^2=aが解を持つ⇔a≧0
x^2=aが解を持たない⇔a＜0

それに対応するものとして、実数(もしくは複素数)を成分とする2x2行列で、
X^2=Aが解を持つための条件
を教えていただきたいのです。

回答No.1

Tacosan

2×2 行列はその一部分として複素数と同型なものを含みます. つまり, 実数 a, b に対し [[a -b] [b a]] で表される行列は複素数と同型です.
だから, 最初に挙げた性質を実数で考えてもあまり意味はなく, 最低でも複素数の上で考える必要があります.

お礼

複素数の変数zにおいて、
z^2はどんな値になることができます。
z^3もどんな値になることができます。
一般に、
z∈C→z^n∈C
は全射です。

複素数を成分とする2x2行列Zにおいて、
Z→Z^2
は全射ではありません。
たとえば、Z^2= [[0 1] [0 0]]になることはありません。

Z^nたちの集合の包含関係などについてもわかれば教えてください。