積分

質問

(sinθ)^4/(cosθ)^9　の積分を教えてください。

回答No.4

arrysthmia · ベストアンサー

＞ t^4/[(1-t^2)^5] の積分となりますがこれはどう解きますか？

普通に、部分分数分解で。
被積分関数の分母が、実数の範囲で一次因子の積に分解されていますから、
部分分数分解が最も単純に済むケースです。

t^4/(1-t^2)^5
= (6/2^9)/(1+t) +(3/2^8)/(1+t)^2 -(1/2^7)/(1+t)^3 -(3/2^6)/(1+t)^4 +(1/2^5)/(1+t)^5
+(6/2^9)/(1-t) +(3/2^8)/(1-t)^2 -(1/2^7)/(1-t)^3 -(3/2^6)/(1-t)^4 +(1/2^5)/(1-t)^5
より、
∫{ t^4/(1-t^2)^5 }dt
= (3/256)log(1+t) -(3/256)/(1+t) +(1/256)/(1+t)^2 +(1/64)/(1+t)^3 -(1/128)/(1+t)^4
-(3-256)log(1-t) +(3/256)/(1-t) -(1/256)/(1-t)^2 -(1/64)/(1-t)^3 +(1/128)/(1-t)^4
= (3/256)log{(1+t)/(1-t)} +(3/128)t/(1-t^2) -(1/64)t/(1-t^2)^2 -(1/32)t(3+t^2)/(1-t^2)^3 -(1/16)t(1+t^2)/(1-t^2)^4

Mathematica が買えなくても、気合でこのくらいは。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

rabbit_cat

http://www58.wolframalpha.com/input/?i=%28sin%CE%B8%29%5E4%2F%28cos%CE%B8%29%5E9
で、１０番目ぐらいに出ます。
そこの「shows step」を押せば、ご丁寧に途中の計算まで表示してくれます。（英語ですけど）
つまり、＃２さんの方法で計算してるみたいですね。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

owata-www

sinθ=tで置換積分…は＃１さんがやってしまったので

(sinθ)^4/(cosθ)^9＝1/cos^5θ-2/cos^7θ+1/cos^9θ
で
例えば
1/cos^9θ＝(1/cos^2θ)*(1/cos^7θ)＝(tanθ)'*(1/cos^7θ)とやっていくのはどうでしょう？

どちらにしても計算はめんどいですが

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.1

arrysthmia

(sinθ)^4/(cosθ)^9 = [ (sinθ)^4 / { 1 - (sinθ)^2 }^5 ]・(cosθ)

補足

それだと
　t^4/[(1-t^2)^5]の積分となりますがこれはどう解きますか？