指定領域内での最大最小値問題

質問

初めて質問を投稿させていただきます。
下記の問題の解き方を教えてください。

3y≦x+11,x+y-5≧0,y≧3x-7で囲まれた領域Dを点(x,y)が動くとき
x~2+y~2-4yの最大値と最小値を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

この問題は、単純には行かない。

3つの直線の交点は、Ａ（1、4）、Ｂ（3、2）、Ｃ（4、5）。
従って、満たす領域は、その3点で作る三角形の内部（境界線上も含む）。
x~2+y~2-4y＝x＾2＋（y-2）＾2＝k＋4とすると、これは中心が点（0、2）で、半径が√（k＋4）‥‥(1)。

座標を書くと分かるが、中心は固定されているから、半径を動かすと、
最大は、点Ｃ（4、5）を通る時。

しかし、最小がちょっと考えなければならない　ｗ
円(1)が直線：ＡＢに接する時。そして、その値は、点（0、2）とx+y-5＝0が接するときだから、点と直線との距離の公式を使えば、すぐ出る。

実際の計算は、自分でやって。

お礼

計算して答えが求まりました。
ありがとうございました。

回答No.3

mister_moonlight

書き込みミス。

（誤）そして、その値は、点（0、2）とx+y-5＝0が接するときだから、点と直線との距離の公式を使えば、すぐ出る。

（正）そして、その値は、円(1)とx+y-5＝0が接するときだから、点と直線との距離の公式を使えば、すぐ出る。

回答No.1

NNori

的外れてたらごめんね。求める式は、
x^2 + ( y - 2 ) ^2 - 4
と変形できるので、
点(0,2) からの距離の２乗 に比例してますよね。だから領域Dを描いて点（０，２）から一番遠いところが解になるのでは？

お礼

さっそくありがとうございました。
一番遠いところが最大値の解で一番近いところが最小値の解って考えれば良いんですね？
あとは計算してみます。