中学の図形の難問がわからなくて困っています。

質問

「四角形ＡＢＣＤで∠ＤＢＣ＝３０°　∠ＡＣＢ＝４４°
　∠ＡＣＤ＝３０°ＡＢ＝ＡＤのとき
　∠ＢＡＣの大きさは何度でしょうか。」
という問題です。どなたかお願いします。

回答No.6

htms42

＃５です。
＃３、＃４の解き方ではＡＢ＝ＡＯ＝ＡＤを使っておられます。
これは∠ＤＢＣ＝３０°の時だけ成り立つ関係です。

回答No.5

htms42

外心ではない方法で解いてみます。

垂線を二本引きます。
ＡからＢＤに垂線を下ろして延長します。
ＤからＢＣに垂線を下ろして延長します。
２つの垂線の交点をＥとします。
ＡＥとＢＤの交点をＬ、ＤＥとＢＣの交点をＭＡＣとＢＤの交点をＮとします。
△ＤＢＥは正三角形です。
∠ＣＤＮ＝∠ＣＥＮ　　　（１）
△ＤＣＭ∽△ＡＬＮより∠ＣＤＥ＝∠ＣＡＥ
４点ＡＥＣＤは同一円周上にあります。

これらから
∠ＤＡＣ＝∠ＣＤＭ
になります。
∠Ａ＝４∠ＣＡＤ
です。

△ＤＢＥが正三角形であるというところがポイントです。
ＢＣに関して上下対称ということで（１）がでてきます。
したがって∠ＤＢＣ＝３０°であれば上の関係は∠Ｃ＝７４°である必要はありません。

∠ＤＢＣ≠３０°の場合についても考えてみました。
でも幾何的に解く方法を見つけることが出来ませんでした。

回答No.4

fatbowler

△ＢＣＤの外心をＯとすると、△ＡＢＯ≡△ＡＤＯ（∵三辺が等しい）
∠ＢＯＤ＝２∠ＢＣＤ＝１４８°
なので、
∠ＡＯＢ＝∠ＡＯＤ＝１４８°／２＝７４°
（ついでに∠ＡＢＯ＝∠ＡＤＯも７４°）
ここで、求める∠ＢＡＣをθとおくと、
∠ＤＡＣ＝θ－３２°（回答No.2参照）
なので、四角形ＡＢＯＤの内角の和が３６０°であることを利用して
θ＋（θ＋３２°）＋７４°×４＝３６０°
∴θ＝４８°

回答No.3の(1)に近いですが、こちらの方が分かりやすいのでは？

なお、回答No.2の「四角形が円に内接してればうまくいく」は残念ながら成立しません。
念のため。

回答No.3

c_850871

2通り解き方があります．

(1)△BCDの外心をOとして，△AOC≡△ADCを証明してください．
すると，点Aが△BODの外心であることがわかります．
後は円周角の関係から出来るはずですよ．

(2)AB=ADより，AB,ADを半径とした円を描けば，Aを中心にした半径ABの円とBCとの交点をEとすれば，円周角の関係から，△AEDが正三角形であることが導かれます．
よって，弧ADに対する円周角を考えると，
∠AED=60°=2∠ACD
なので，△ADCの外心がBC上に来ることがわかります．
後は二等辺三角形をうまく使えば出来ますよ．

回答No.2

m1zn0k31k0

分かりました。

まず四角形ABCDを作図してみてください。
三角形BCDの
∠BDC=76°（∵180°-(∠DBC+∠ACB+∠ACD+∠DBC)　）
対角線ACと対角線BDの交点をOとすると、
x+∠BAO=106°（∵隣り合わない内角の和=外角）
x+∠DAO=74°（　　　　　　”　　　　　　　）
↑より∠OAB-∠OAD=32°
ここで、∠DAO=y　とおくと、　∠BAO=y+32
三角形BADから、
2x+2y+32=180　　---(1)

その四角形が円に内接してればうまくいくんですけど。。
内接してませんか？

回答No.1

m1zn0k31k0

∠ACB＝44°　ってことですか？
それとも、∠AOB＝44°　ってことですか？

OかCか教えてください。パソコンで分かりにくく表示してあるので。。

補足

Ｃです。∠Ａ Ｃ Ｂ＝４４°です。
見にくくてごめんなさい