べき乗根の計算の仕方が分からなくて困ってます。

質問

微分積分の授業で、べき乗根の計算の授業をしたのですが、教科書にも載ってないので、イマイチ理解が出来ません。。
例えば、
　4√√3／４－１／４ｊ　　（分かりにくくてすみません。最初の４は４乗根のことで、一番最初の√は全体にかかります。）

　のべき乗根の計算をしなさいという問題だと、どのようにやっていくのですか？

回答No.2

steams

複素数を極形式（大きさと角度の部分に分ける。a exp(jθ) という形）で表し、ガウス平面にプロットすると分かり易いのではないでしょうか。
例の場合だと4乗根の中を見ると、(1/2)(√3/2-j(1/2)) という形をしていることが分かります。
大きさに関係する最初の(1/2)を除いた部分をガウス平面にプロットすると、1+j0から時計回りにπ/6回転した点で大きさが1であることが分かるので、指数関数を使って√3/2-j(1/2) = exp(-j(π/6))と表せます。（この形の複素数は、べき乗計算に対して大きさ1を保ち、単位円上をグルグル回るような動作をします）
この角度（θとします）は一般的に記述するとθ=-(π/6)+2πn （nは整数）と書けます。
exp(jx）という関数をn乗すると角度はn倍になります。
すなわち、4乗根とは角度を4分の1にすることに相当します。
θ/4=-(π/24)+(π/2)n が4乗根の角度となります。(π/2)nにnを色々代入していくと実質的に4つの角度しか取らないことが分かります。
θ/4=-(π/24), -(π/24)+π/2, -(π/24)+π, -(π/24)+3π/2 の4種類です。
これで角度が分かりましたので、大きさを求めますが、これは実数で4乗したら1/2となる実数である、1/4√2 （1割る2の4乗根）となります。（実数でと書いたのは複素数を考えると先程と同様に4種類の角度を伴ったものになってしまうからです。角度の計算はもう終わっています。）

以上角度と大きさを組合わせると、求めるべき乗根は、
(1/4√2)exp(-j(π/24)), (1/4√2)exp(j(11π/24)), (1/4√2)exp(j(23π/24)), (1/4√2)exp(j(47π/24))
の4種類になります。（角度について負とπ以上が混在していますがご了承下さい）

回答No.1

kt1965

回答します。

Yahooさんの所の知恵袋に回答があるので、貼り付けておきます。
基本的には、まず「ルート」の計算を求めて、その次に「4乗根」の計算を求めます。

では。

追伸
虚数単位は、4乗の場合は-1ですから気にしなくてもよろしい。つまり、iの4乗根は±i。それだけ分かれば計算できるはず。

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1311897583