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電磁波の概念とは？
- 電磁波の概念について理解を深めましょう。
- マクスウェルの方程式を用いて電磁波の伝搬を解説します。
- 電磁波の発生に関する疑問について説明します。
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その考え方で満点だと思います。 私自身も図の説明は「瞬間の写真」なのか「経過を表している」のか曖昧なところがある。ということにあらためて気づかされました。
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- nta
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この考え方でいけばE_1が-sinωtで変化しているとその積分は絶対に正にはならないという結果になりますし、cosωtであれば正負の両方の値をとることになります。ここで微分方程式を解く場合には初期値を常に念頭に入れなければならなかったことを思い出してください。すなわちB＝－∫rotEdt ＋C(x,y,z)でなければならないし、電界が位相０から立ち上がろうとする瞬間にはBの値は正もしくは負の最大値になっているのです。
お礼
平面波と最初に質問した時の図を対応させてじっくり見ていたら分かってきました。誤解をしていたようです。 もし間違って理解していたらご指摘下さい。 微分形で考える時は、伝搬している様子(輪っかの図)ではなく『瞬間の分布』を表している！ntaさんが＃3で >最初の輪が電界であるときrotH＝ε∂E／∂t 式によると磁界Hは輪の回転が進む方向に対して右まわりに交わり回転します。次の輪は電界ですがrotE＝－∂B／∂t は磁界の変化に対して左回りに電界が発生することを示していますね。ところがこの２つのステップの時間関係が、正弦波の波面であれば、ちょうど波の半周期にあたるため、最初の電界の輪は逆方向の回転を始めることになります。したがって、瞬間瞬間では空間の電界・磁界のベクトル方向に矛盾はありません。 これを最初に言われたとき磁界の方向が僕が最初に質問した輪っかの図とは逆なのに何故矛盾はないと言われているのか意味不明でした。しかし、ここでは『輪っかの図は関係ない』ですね。あくまでも伝搬ではなく『瞬間の分布』を表しているということですよね。つまり、これは全ての空間に渡るある時刻での電磁波の分布の様子を表しているということですね。 伝搬として輪っかの図を考える時はこの分布をそのまま時刻を動かして見ればよいですね。 あと積分形で考える時は微小時間Δtを考えると、 B＝－∫rotEdt＝－rotEΔt という式により、E_1に対して左ねじの回る向きに磁界H_1＝μB_1が発生。 そのH_1により今度は D＝∫rotHdt＝rotHΔt というように考えれば伝播の様子(輪っかの図)を表している事が分かりますね。 とにかく微分形であろうと、積分形であろうとその式は伝搬の様子でなく『瞬間の分布』を表しているという事ですね。 そして、あの輪っかの図は平面波の図と対応させると分かりますが、電界・磁界の増加していく方向を表していてかつ1/4周期ずつずれた時刻の電界・磁界を同時に一つの図に描いているんですね。 以上、結構自分なりに質問以前より完全ではないですが大分理解できた気がします。こんな感じでよいでしょうか？？
- nta
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時間積分をするということは９０度だけ時間を進ませることになります。同じことだと思うのですが。 輪を用いた模式的な説明が誤解を生じているようですね。大きい輪でも小さい輪でも不定形でもいいのですが、そうしたものが密集していると進行方向成分はキャンセルされてしまいます。
お礼
輪が密集すると進行方向成分がなくなることは分かってきました！ >時間積分をするということは９０度だけ時間を進ませることになります。 そうなんですよね。そのように考えると同じ事なのですが…。 ＃５のお礼で僕は >電界については上向きを正、磁界については上から見て時計回りを正(電界が上向きの時左ねじの向き)、電磁波の周期Tとすると 波源E_1については(初期位相0として)時刻t＝0のときの増加する方向が描かれているとすると、 それによって励起される磁界H_1は B＝－∫rotEdtの式からt＝0からt＝T/2の間はrotE_1が正方向(E正の方向の時をrotEの正方向と定義)なのでH_1＝B_1/μは正方向ですね。t＝T/2～Tの間はE_1は負方向でrotE_1は負ですが,t＝0～T/2の間に積分された量があるのでその量が徐々に減りはするけども負の量にはならないのでやはりH_1＝B_1/μは正方向ですね。 というふうに言いました。 これはどういうふうなイメージで考えたかというと例えば y＝sinxのグラフを頭に描いて考えたとき0→πでは 0≦sinx≦1だから 当然∫[0→π]sinxdxは正ですよね。 だけどπ→2πでは－1≦sinx≦0だけど0→πの間に積分された量があるから π≦α≦2πとして ∫[0→α]sinxdxは正ですよね。 こういう考えの元にあのお礼の説明に到ったわけです。 やっぱりこの考えはどこかおかしいですか？？
- nta
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いままで、一次元のこととして指摘しなかったのですが、最初に質問されたような一般論であればまだしも積分形に変換するのはどうしてでしょうか。電磁波は単一周波数の正弦波であるため角周波数ωを用いてE = E0 e^jωt とすれば時間微分はjωE0 e^jωt となるため、空間の座標系とは変数分離することができます。マクスウエル方程式を取り扱うとき、その積分で意味があるのは空間における線積分や面積分です。時間積分が出てくるのは量子論や相対論を組み込む時ぐらいです。 B＝－∫rotEdt の表現の中で時間項がなくなってしまったかのような錯覚があるのではないでしょうか。 ＞この内容の中で半波長サイズの小さな輪というのはどうして分かるのですか？？ この説明も＃３に引きずられた模式的表現ですが、空間では半波長で電界－磁界が強度が逆転します。その間をつなぐという意味合いを出したいだけです。あなたは数学の知識も十分とお見受けしますので、一度平面のヘルムホルツ方程式を解いてみてはいかがでしょうか。 ＞輪を合成したら進行方向に強め合ってしまうのでは？？ 波面上でちょうど横並びになっている輪は同じ方向に回転している（これも模式的な説明です）ため、ちょうど輪の側面が擦れ合うところは打ち消し会うことになりませんか。 図を示せるといいのですが、回答者の身元が丸わかりになりそうなリンクは本サイトの規約により禁じられているためできるだけ想像してみてください。
お礼
>いままで、一次元のこととして指摘しなかったのですが、最初に質問されたような一般論であればまだしも積分形に変換するのはどうしてでしょうか。 僕の持っている本は最初に描いたように積分形だけで概念を説明しているんですよ。でも微分形で考えたらなんかさっぱり分からなくなってきちゃって。 >一度平面のヘルムホルツ方程式を解いてみてはいかがでしょうか。 解く事もでき、解いて出た式によって考える事は十分できるんです。でも何故こんな質問をしたかと言うと、解かずに最初のマクスウェルの方程式だけを用いて電磁波の伝搬をどうしても直感的に理解したかったからなんです。 >波面上でちょうど横並びになっている輪は同じ方向に回転している（これも模式的な説明です）ため、ちょうど輪の側面が擦れ合うところは打ち消し会うことになりませんか。 あっ！？…もしかして輪っかを小さく見ていたため勘違いしてたのかも。輪は空間的に広がってますよね。磁界を一つのリングだとしてその両端に２つのリング(電界)がぶらさっがっているように見ていたのですが、このように見てはいけませんね！もっと大きなリング(不定形)とみなすとこのリングは互いに逆方向に回転している⇒つまり元のリング(磁界)の中央付近では打ち消しあいますね！ このように見ればよいのですね？？ ちょっと無謀な分かりにくい質問をしているような気はしているのですが、そんな質問にもntaさんは熱心に回答をしてくださって凄く感謝しています！！
- nta
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>t＝T/2～Tの間はE_1は負方向でrotE_1は負ですが,t＝0～T/2の間に積分された量があるのでその量が徐々に減りはするけども負の量にはならないのでやはりH_1＝B_1/μは正方向ですね。 E_1については、初期位相を０としているのでt=0～T/4までが増加、t=T/4～3T/4までが減少になります。その先はTまでが増加です。よって磁界は負方向にも回ります。
お礼
ありがとうございます。 >E_1については、初期位相を０としているのでt=0～T/4までが増加、t=T/4～3T/4までが減少になります。その先はTまでが増加です。よって磁界は負方向にも回ります。 この事はもしマクスウェルの方程式が B＝－∫(∂rotE/∂t)dt というようにrotEの変化率に対する積分だったらntaさんの言われる事が納得できるんですが、実際の式 B＝－∫rotEdtはrotEの積分だからちょっと分からないです。 ＃５で >平面波はTEM波ですから進行方向に直角の方向にしか成分がありません。このことは空間のある平面上に半波長サイズの小さな輪が縁をそろえてびっしり並べられており、それらの輪の合成された包絡線が一つの面を形成していると考えます。 この内容の中で半波長サイズの小さな輪というのはどうして分かるのですか？？ 輪を合成したら進行方向に強め合ってしまうのでは？？ この３つの質問の回答よろしくお願いします。
- nta
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磁界についても同様ではありませんか。 （１）磁界の輪から左回転の電界の輪が励起される。 rotE＝－∂B／∂t （２）電界の輪から磁界の輪が励起される。 rotH＝ε∂E／∂t このとき最初の磁界の輪は（１）のときの逆方向の回転になっているので、隣り合った磁界の輪はその瞬間は逆方向に回転することになる。（電界の輪の中には磁界が存在できる） ＞平面波が伝搬するとするなら上と下にしか成分はないのに輪ができるとすると伝搬方向にも成分が発生しますよね？ 平面波はTEM波ですから進行方向に直角の方向にしか成分がありません。このことは空間のある平面上に半波長サイズの小さな輪が縁をそろえてびっしり並べられており、それらの輪の合成された包絡線が一つの面を形成していると考えます。
お礼
では僕の質問した >rotE＝－∂B／∂t⇒B＝－∫rotEdt という式により、E_1に対して左ねじの回る向きに磁界H_1＝μB_1が発生。 そのH_1により今度は rotH＝∂D／∂t⇒D＝∫rotHdt という式により、H_1に対して右ねじの回る向きに電界E_2が発生。 というようにして電磁波が伝搬していくように描かれている 図というのは 電界については上向きを正、磁界については上から見て時計回りを正(電界が上向きの時左ねじの向き)、電磁波の周期Tとすると 波源E_1については(初期位相0として)時刻t＝0のときの増加する方向が描かれているとすると、 それによって励起される磁界H_1は B＝－∫rotEdtの式からt＝0からt＝T/2の間はrotE_1が正方向(E正の方向の時をrotEの正方向と定義)なのでH_1＝B_1/μは正方向ですね。t＝T/2～Tの間はE_1は負方向でrotE_1は負ですが,t＝0～T/2の間に積分された量があるのでその量が徐々に減りはするけども負の量にはならないのでやはりH_1＝B_1/μは正方向ですね。 あれっ！？じゃあこの考えだとH_1は負方向を向く事がない！？この考えどこがおかしいのでしょうか？？ 後者の平面波の回答についてはちょっと用事があって今は考えていられないのでまた後でじっくり考えさせて頂きます。
- nta
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（１）電界の輪から磁界の輪が励起される（変位電流から磁界が励起される）。 rotH＝ε∂E／∂t （２）磁界の輪から電界の輪が励起される（鎖交磁束の変化が電界を励起する）。 rotE＝－∂B／∂t を２つのステップと表現しました。 電磁波を表現するためのヘルムホルツ方程式はこの２つの式を合成して表現されます。時間微分が表現するものは正弦波にとっては９０度の時間遅れであり、空間分布でみれば伝搬を表していることになります。
お礼
>時間微分が表現するものは正弦波にとっては９０度の時間遅れ それで９０°＋９０°＝１８０°だから半周期ということなんですね。納得できました。 rotH＝ε∂E／∂t, rotE＝－∂B／∂t を用いると、＃３での ＞この２つのステップの時間関係が、正弦波の波面であれば、ちょうど波の半周期にあたるため、最初の電界の輪は逆方向の回転を始めることになります。したがって、瞬間瞬間では空間の電界・磁界のベクトル方向に矛盾はありません。 電界についてはよいですが、磁界について逆方向なのはどう説明されますか？？ あとなんか不思議なんですが、平面波が伝搬するとするなら上と下にしか成分はないのに輪ができるとすると伝搬方向にも成分が発生しますよね？それはどう解釈すればよいのでしょうか？考えるほどよく分からなくなってきます。
- nta
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divB=0をrotと間違えてしまったのは汗顔の至りです。看板おろさなければなりません。 電磁波の場合は鎖のようにあるいはフラフープの輪がお互いに他の輪を通るように電界と磁界が鎖交していきますね。増加する方向を回転方向にたとえてみます。時間差がそれぞれあるのですが、最初の輪が電界であるときrotH＝ε∂E／∂t 式によると磁界Hは輪の回転が進む方向に対して右まわりに交わり回転します。次の輪は電界ですがrotE＝－∂B／∂t は磁界の変化に対して左回りに電界が発生することを示していますね。ところがこの２つのステップの時間関係が、正弦波の波面であれば、ちょうど波の半周期にあたるため、最初の電界の輪は逆方向の回転を始めることになります。したがって、瞬間瞬間では空間の電界・磁界のベクトル方向に矛盾はありません。
お礼
こまめに回答頂きありがとうございます。 ちょっと分からないのがあったので質問します。 ＞２つのステップ とはどれとどれのステップですか？ちょっとよく分からないのでもう少し詳説お願いします。
- nta
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「お礼」に書かれていらっしゃるように、レンツの法則に関していえばJが必要です。コイルのような電気伝導のある場しか相手にしていません。 一方、B_1＝－rotE_1t＋Ａ の式で仮定されていることはEが直流的に一定に保たれる場が実現されたときにあり得そうに見えますが、磁界についてはもう一つの強い要請である「沸きだしがない」こと、すなわち、rotB = 0が必要です。このため先ほどの式に適用するとrot(rotE_1 t) = rotAでなければならず。Aは時変の関数とならざるを得ず。種々の考察を加えても長期的にはt->無限 においてB_1=定数となります。 ２つ目の疑問につきましてはやはりJという電流項を考慮に入れる必要があります。
お礼
ntaさんのおかげでレンツの法則について誤解が解けました！！ありがとうございました！ ＞磁界についてはもう一つの強い要請である「沸きだしがない」こと って言うのはdivB＝0の間違いですよね？？ 改めて考えたんですけど、伝導電流の流れる方向にz軸をとると無限直線導線内に存在する時間に対して一定の電界は E_1＝(0,0,E_1)⇒rotE_1＝(0,0,0) となるので、B_1＝－rotE_1t＋Ａ＝Ａ divB_1＝0よりＡはdivＡ＝0となり B_1＝一定(時間に対して) となります。つまり、矛盾は起こらないですね！ ２つめの考察はおかしかったですね。ntaさんの言われる通り無限直線導線を伝導電流σE_1が流れているので、当然 rotH_1＝σE_1 で考えなければなりませんね。すいません論外でした。これなら、何も矛盾はしていませんね。
補足
本題に戻りますが、最初に書いた電磁波の概念図に関しての質問をもう一方の式で以下のように考えた場合はどうなるのでしょうか。これが一番質問したい事でした。 電界E_1が発生するとマクスウェルの方程式 rotH＝ε∂E／∂t という式により、時間に対してE_1が増加すれば右ねじの回る向きに磁界H_1＝μB_1が発生。時間に対してE_1が減少すれば左ねじの回る向きに磁界H_1＝μB_1が発生しますよね。 実際に発生している磁界は rotE＝－∂B／∂t⇒B＝－∫rotEdt という式により、E_1に対して左ねじの回る向きに発生しているように描かれているのに、この二面性はどのように理解すればよいのでしょうか？？ 補足回答よろしくお願いしますm(_ _)m
- nta
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rotH＝∂D／∂t は正しくはrotH＝J+∂D／∂t であり、レンツの法則に対応させるのであればコイルに電流Jが流れることになります。この場合の変位電流∂D／∂t＝０となる場合が多いでしょうから矛盾することはありません。
お礼
回答ありがとうございます。 ntaさんの回答を見てレンツの法則についてもう一度見直して見ました。H.F.E.Lenz(独)によって1834年に発見されたこの関係は『誘起起電力の方向はこれによって流れる電流の作る磁束が、閉回路を最初に貫いていた磁束の変化を妨げる方向に生ずる。』と表されています。 ということはレンツの法則の適用範囲は伝導電流Jが流れる時のみであって変位電流∂D／∂tに対しては成立しないという事でしょうか？？？
補足
おそらく記述不足のため質問内容が正確にntaさんに伝わっていないように思われますので、例をあげて何が分からないかをもう少し明確にしておきます。以下の例は自分の疑問のほんの一部の例です。 例えば、発生源の電界が時間的に不変の一定値E_1とします。B＝－∫rotEdt で考えれば当然E_1によって発生する磁束密度は B_1＝－rotE_1t＋Ａ（Ａは時間に依存しない任意の定ベクトル） となり、 時間が経過すればB_1の大きさが大きくなっていく。これはB_1が時間的に変動する事を意味する。！？えっじゃあ無限直線導線に一定の電流I＝σE_1が流れていればその回りに発生する磁界H＝I/2πrが変動！？そんなはずはない。これは時間に無関係な一定値のはずだ！どうしてこんなおかしな事になってしまうのでしょうか？？という疑問が一点。 このとき、rotH＝∂D／∂tによるとE_1によって発生する 磁界はrotH_1＝0であり磁界は発生しないことになる。これもH_1＝σE_1/2πrに矛盾する。しかもさっき(B_1＝－rotE_1t＋Ａ)と異なる結果が…！？ う～んどんどん分からなくなってきました…一体どこの考え方がおかしいのでしょうか？？ 上記の例では直感的にしか分からないけどE_1が時間的に不変だからそれによって生じる磁界も時間的に不変で電磁波は発生しないはずって思いますが、例としてこんな質問で記述しました。 質問をしている自分もかなり意味不明になってきているのでntaさんに理解してもらえるかどうか不安ですが回答よろしくお願いしますm(__)m
お礼
本当に長々とつきあって下さってありがとうございました！！なんか安心できました(^^)また何か意味不明な質問をしでかすかもしれないですが、その時はよろしくお願いします。