数列が収束するかの証明問題
数列{a_n}{b_n}を写真のように定める。
（a_n,b_nはすべて正数とする）
a_n,b_nが同じ値に収束することをしめしなさいという問題なのですが、
流れとしては、
1)
a_n=b_nならば代入すれば、a_(n+1)=b_(n+1)
数学的帰納法（？）で数列{a_n}{b_n}は同じ値に収束する
2)
a_n>b_nとして、
b_n=√(b_n*b_n)<√(a_n*b_n)=b_(n+1)
a_n=2(a_n)^2/2(a_n)>2a_n*b_n/a_(n)+b_n=a_(n+1) (ここは計算すると、不等号が成り立ちますが、省略します。）
またa_(n+1)<b_(n+1) (0<(a_n-b_n)^2から計算すれば出ますので省略します）
これをまとめてb_n<a_(n+1)<b_(n+1)<a_nとなる
3)
次にa_n<b_nのときは
上記と同じような計算で
b_(n+1)<b_n
a(n+1)>a_n
a_(n+1)<b_(n+1)がえられる。
2)3)の結果を合わせて
a_n>b_nの場合は、a_(n+1)<b_(n+1)に、
a_n<b_nの場合はa_n<a_(n+1)<b_(n+1)<b_n…(1)となる。
nが2以上で(1)が無限に繰り返されていき、a_2<a_3<a_4<a_5<...<b_5<b_4<b_3<b_2が成立するため{a_n}{b_n}はともに有界であり、n=2以上で
{a_n}は単調増加、{b_n}は単調減少であるとわかる。よってともに収束する。
数列{a_n}の収束値をA、数列{b_n}の収束値をBとして
与式に代入するとA=Bがえられ、数列{a_n}b_n}は同じ値に収束することがわかる。
といった感じ大まかにはあってますか？
