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マクローリン展開について・・・
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基本的に、連続関数で、原点の周りで微分可能であればほとんどの関数は展開できます。 ただし、マクローリン展開の一般項を簡単な形で書けるかどうかは別の話です。 一般のn次導関数を求めるのが難しい関数も多く存在しますが、それでも例えば100次の項まで展開したいのであれば、高々100回微分してやれば良いだけなので、その意味ではある程度性質の良い関数であれば展開は可能です。 また、収束半径についても展開する関数によって別途議論しなければなりません。 では具体的に展開できる関数ですが、 1/(1-x) = 1 +x +x^2 +x^3 +x^4 +... = Σ[n=0~∞]{x^n} 収束半径は|x|<1 log(1+x) = x -(x^2)/2 +(x^3)/3 -(x^4)/4 +... = Σ[n=1~∞]{((-1)^(n+1))*(x^n)/n} 収束半径は|x|<1 (1+x)^p = Σ[n=0~∞]{C(p,n)*(x^n)} 但し、C(p,n)=p*(p-1)*(p-2)*...*(p-(n-1))/(n*(n-1)*(n-2)*...*1) 収束半径は|x|<1 tan(x) = Σ[n=1~∞]{B[2n]*((-4)^n)*(1-4^n)*(x^(2n-1))/(2n)!} 但し、B[n]はベルヌーイ数 収束半径は|x|<π/2 です。その他sin(x^2)やexp(x^2)なんかの展開も簡単にできます。
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