数列の問題について質問です

質問

正の数からなる数列{a[n]}の第n項a[n]と、初項から第n項までの
和S[n]の間に、S[n]=1/2(a[n]+1/a[n])という関係があるとする。
このとき、一般項a[n]を求めよ

解答集が無いためこの問題がわかりません・・
漸化式で解いて良いのでしょうか。
どなたか詳しく解説いただけますか？

回答No.4

jamf0421

No2です。No3のご回答に関して...
>1)に直接a(n)=S(n)-S(n-1)を代入すれば、
>すぐ(7)を得る。
おっしゃるとおりです。m(__)m

回答の符合についてですが、これも問題でした。A(n)を正負ともに許すと誤解ししかも
A(n)=+-√n-+√(n-1)（複合同順）
のように書いたのは勘違いで、これも複合自由でした。
A1=±1...(a)
A2=-+1±√2...(b)
A1=+1の時
A1+A2=+1-1±√2=±√2...(c)
A1=-1の時
A1+A2=-1+1±√3=±√2...(d)
A1+A2=√2の時
A3=-√2±√3...(e)
A1+A2=-√2の時
A3=√2±√3...(f)
A1+A2+A3=±√3...(g)
となり(c)と同じ形になり√が一つだけ残って行きます。（以下同じように行きます。）これを”複合同順”でないと消えないと一瞬勘違いした次第です。（消えなかったといってどうなんだというのだ、という話さえありますね。）
An>0の場合、
A1=1
A2=-1+√2（A1=1だから1+√2はない。）
A3=-√2+√3（A1+A2=√2だから√2+√3はない）
...
An=-√(n-1)+√n
になりますね。これもあまりエレガントでないですが...

回答No.3

arrysthmia

(1)に直接a(n)=S(n)-S(n-1)を代入すれば、
すぐ(7)を得る。
(1)←→(7)は同値変形だから、
(10)の符号は任意に選ぶことができ、
それに応じて、a(n)の二個の復号は
四通りの中から一つに定まる。
…かと思ったら、
「正の数からなる数列a(n)」って書いてあった。
S(n)は正やね。

回答No.2

jamf0421

S[n]=(1/2)(A(n)+1/A(n))...(1)
ですね。（A(n)+1/A(n)は分子側ですね。）ｎと区別するためaは大文字にしました。また紛らわしくなるので添字は括弧にいれています。
S[n]=S[n-1]+An=(1/2){A(n-1)+1/A(n-1)}+An...(2)
(1)=(2)と置いてAnについての2次方程式の形にすれば
A(n)^2+(A(n-1)+1/A(n-1))A(n)-1=0...(3)
となります。ところで(3)のA(n)について1次の項は2S[n-2]ですから
A(n)^2+2S[n-1]A(n)-1=0...(4)
となります。これを解けば
An=-S[n-1]±(S[n-1]^2+1)^(1/2)...(5)
です。(5)のS[n-1]を左辺に移項します。この時An+S[n-1]=S[n]であることに気付けば
S[n]=±(S[n-1]^2+1)^(1/2)...(6)
これを両辺2乗すれば
S[n]^2=S[n-1]^2+1...(7)
ここまでくれば以下順番にnを小さくしていけば
S[n]^2=S[1]+n-1...(8)
S[1]=A1=(1/2)(A1+1/A1)...(9)
を解けばA1^2=1ですから、結局(8)は次のようになります。
S[n]=±√n...(10)
S[n-1]+A(n)=S[n]から
±√(n-1)+A(n)=±√n
になります。n-1の項を移項してマイナスプラスにすれば答えです。

回答No.1

33550336

初項は与えられてないのですか？