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i^i^i^i…の極限

  • 質問No.4824187
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暇つぶしに、googleで、
i^i= 0.207879576
i^i^i=i^(i^i)=0.947158998 + 0.32076445 i
i^i^i^i=i^(i^(i^i)) = 0.0500922361 + 0.602116527 i


と計算をやってみて、それぞれの点を複素平面にプロットしていったところ、
複素平面上でぐるぐると回っていき、最終的に
i^i^i^i^i^i^…=i^(i^(i^(i^(i^(…)))))
は、ある一定値に近づいていきそうなことがわかりました。
だいたい、
i^i^i^i^i^i^…=0.4383+0.36059i
なのですが、この値を簡単な数式(e、π、√、logなど)
であらわすことは可能でしょうか?よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
  • ベストアンサー

ベストアンサー率 64% (700/1089)

面白そうだったので,やってみました.

複素数 u の複素数 c 乗は
(1)  u^c = exp(c log(u))
が定義ですが,log(u) のところが多価関数です.
ここは主値をとることにして(質問の計算がそうなっています),
今は u = i ですから log(i) = iπ/2 です.
n 回目の値を z_n とすると,漸化式が
(2)  z{n+1} = i^(z_n) = exp{iπz_n/2}
です.
極限値を z と書くと,z は(2)で z_n=z_{n+1}=z とおいた
(3)  z = exp{iπz/2}
を満たします.
(4)  z = x + iy
として実数 x, y に対する連立方程式にしますと
(5)  x = exp(-πy/2) cos(πx/2)
(6)  y = exp(-πy/2) sin(πx/2)
になります.
(6)÷(5)で
(7)  y = x tan(πx/2)
がわかりますから,x 単独の方程式
(8)  x = exp{-(π/2) x tan(πx/2)} cos(πx/2)
になりますが,一見して解析解は求まりませんね.
Mathematica でも試しましたが,ダメでした.
というわけで rndwalker7 さんのご希望通りにはなりません.
数値計算で解くのは容易で
(7)  x = 0.438283
(8)  y = 0.360592
が数値解で,rndwalker7 さんの質問文の予想と同じものが得られます.
お礼コメント
rndwalker7

お礼率 64% (9/14)

早速の回答ありがとうございます。
明快な解説で、納得できました。
複素数の世界って不思議ですね。
投稿日時:2009/03/25 00:33

その他の回答 (全2件)

  • 回答No.3
タイプミスを訂正。

-------------------------------
 f(z) = h^(iz)  h = EXP(π/2)
  • 回答No.2
これは、
 f(z) = h~(iz)  h = EXP(π/2)
の不動点を求めるアルゴリズムになっているようですね。
 
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