• ベストアンサー

重積分の問題です

∬e^(ax+by)dxdy   (ab≠0,領域R:0≦x,y≦m) 答えは{e^(am)-1}{e^(bm-1)}/abだそうです。 やり方がわからないので誰かお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)
回答No.4

「この問題って,広義積分なのかな~と思っていたのですが,違うのでしょうか? 0≦x, y≦m からどうして,0≦x≦m,0≦y≦m と、範囲を指定できるのでしょうか? 範囲は,0≦x だから,座標平面上で右半分の部分で y≦m だから,その右半分のうち,直線y=m より下の部分になると思うのですが…。 どうなのでしょう?」 参考まで ∬e^(ax+by)dxdy 条件がy=mx の形では与えられていないでしょう。だから、 e^ax と e^by は独立事象なんですね。 e^ax と e^by は独立に増加するんですよね。 0≦x≦+∞, -∞≦y≦m 当然、x→+∞, -∞≦y の条件では e^(ax+by) は発散しますので 積分は不能ですね。収束条件は、0≦x, y≦m として与えられていますね。 という条件下で、e^ax と e^by はx軸とy軸で独立に増加する値の掛け算といえるものなのです。(#3を参考に。) 独立事象の掛け算ですから、xとy を入れ換えても同じ答えですよね。 だからx とyの範囲は同じになるのです。 ∬e^(ax+by)dxdy =[∫(e^ax)dx]*[∫(e^by )dy}≡{∫(e^ay)dy}*{∫(e^bx)dx} ={Σ[x=0→m]e^ax}*{Σ[y=0→m]e^by} 同様の形式にガウス積分がありますね。 [-∞≦(x,y)≦∞]∫∫e^-(x^2+y^2) dxdy =[-∞≦(x,y)≦∞]{∫e^-x^2dx}*{∫e^-y^2dy} ということかな。  参考程度に

guowu-x
質問者

お礼

いつも丁寧な解答をありがとうございます! 経済学をやるために、微分積分の勉強を始めたばかりで、分からないことが多いので助かっています。

その他の回答 (3)

  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)
回答No.3

追伸まで ∬e^(ax+by)dxdy   (ab≠0,領域R:0≦x,y≦m) ={Σ[x=0→∞]e^ax}*{Σ[y=-∞→m]e^by} =Σ{1+ax+(ax)^2/2!+(ax)^3/3!+}*Σ{1+by+(by)^2/2!+(by)^3/3!+} =∫{1+ax+(ax)^2/2!+(ax)^3/3!+}dx*∫{1+by+(by)^2/2!+(by)^3/3!+}dy ={ax/a+(ax)^2/a*2+(ax)^3/a*3!+(ax)^4/a*4!+}{by/b+(by)^2/b*2+(by)^3/b*3!+(bx)^4/b*4!+} ={(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}, a, b≠0 x=0, x<0, {(1/a)(e^ax-1)}≡0, {(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}≡0 ←条件 y>m, {(1/b)(e^by-1)}≡0, {(1/a)(e^ax-1)}*{(1/b)(e^by-1)}≡0 ←条件 y=m, ={(1/a)(e^am-1)}*{(1/b)(e^bm-1)} ∬e^(ax+by)dxdy   (ab≠0,領域R:0≦x,y≦m) ={(1/ab)(e^am-1)(e^bm-1)}

  • rousei
  • ベストアンサー率42% (9/21)
回答No.2

#1さんのようにやるのが1番イイ方法だと思うのですが、 無理やりやっても出来ます。 0≦x≦m 、 0≦y≦m ということなら、 ∬e^(ax+by)dxdy = 1/a ∫[e^(ax+by)]dy   (但し{x:0→m}) =1/a ∫{e^(am+by)-e^(by)}dy =1/ab [ e^(am+by)-e^(by)] (但し{y:0→m}) =1/ab (e^(am+bm) - e^(bm) - e^(am) +1 ) =1/ab (e^(am) (e^(bm)-1) -e^(bm) +1 ) ***** e^(am)でくくった =1/ab (e^(am) (e^(bm)-1) -(e^(bm) -1) ) =1/ab (e^(am)-1) (e^(bm)-1) です。でも質問の回答 {e^(am)-1}{e^(bm-1)}/ab は書き間違いなのかなとおもってやったので、もし見当違いなら申し訳ないです。

  • mmky
  • ベストアンサー率28% (681/2420)
回答No.1

参考程度に e^(ax+by)=(e^ax)*(e^by ) という掛け算ですよね。 0≦x, y≦m ということで掛け算の有効範囲は 双方とも0→mまでですね。 この範囲でしか掛け算が有効ではないということですね。 ということで、 ∬e^(ax+by)dxdy=∫(e^ax)dx*∫(e^by )dy =[0→m]∫(e^ax)dx*∫(e^by )dy =(1/a){e^am-1}(1/b){e^bm-1} ={e^(am)-1}{e^(bm-1)}/ab ということかな。

guowu-x
質問者

補足

この問題って,広義積分なのかな~と思っていたのですが,違うのでしょうか? 0≦x, y≦m からどうして,0≦x≦m,0≦y≦m と、範囲を指定できるのでしょうか? 範囲は,0≦x だから,座標平面上で右半分の部分で y≦m だから,その右半分のうち,直線y=m より下の部分になると思うのですが…。 どうなのでしょう?

関連するQ&A

専門家に質問してみよう