方程式を解りやすく説明してください。

質問

新潟から長岡まで、じいちゃんは自転車で毎時12kmの速さで行き、
ばあちゃんは歩いて毎時4kmも速さで行きました。そのため、ばあ
ちゃんはじいちゃんより2時間多くかかりました。新潟から長岡ま
での道のりを求めるのに、太郎君、花子さんはそれぞれ次のような
方程式をつくりました。
　下の問いに答えてね！
　太郎君・・・・x/12=x/4-2
花子さん・・・12x=4(x+2)

(1)太郎君、花子さんがつくった方程式のxはそれぞれ何を表して
　　いますか？

(2)太郎君、花子さんがつくった方程式の特徴をそれぞれ書いてね。

(3)ばあちゃんのかかった時間をx時間として方程式をつくり、新潟
から長岡までの道のりを求めてね。

以上、中一の子供が納得出来るような説明をお願いします。

回答No.7

fushigichan

maro37さん、こんばんは。
まず、「時速」×「時間」＝「距離」
になっていることから、説明したらいいと思います。

この例では、じいちゃんは自転車で時速１２ｋｍの速さで進みます。
では、じいちゃんが２時間、自転車をこいだら、どれくらい進むのでしょうか？
１２ｋｍ/時　×　２時間　＝２４ｋｍ　・・・・（１）
ですから、２４ｋｍ進んでいます。
反対に、６０ｋｍのところまで、じいちゃんが自転車で行こうとすると、何時間かかるでしょうか？
これは、６０ｋｍ　÷１２ｋｍ／時　＝５時間　・・・・（２）
となって、５時間かかれば到達することになります。
このことを、ふまえて・・
＞　太郎君・・・・x/12=x/4-2
花子さん・・・12x=4(x+2)
＞(1)太郎君、花子さんがつくった方程式のxはそれぞれ何を表して
　　いますか？

太郎君の作った式は、時速の１２ｋｍで割っていますから、（２）と同じ考え方です。
つまり、新潟から長岡までの全距離をｘとおいたのです。
すると、じいちゃんは１時間につき１２ｋｍで進むので、なんじかんかかるか？というと
ｘ÷１２になります。
ばあちゃんは、このｘという距離を歩いて１時間につき４ｋｍの速度で進みますから
ｘ÷４　時間かかってしまいます。
じいちゃんよりも、２時間多くかかってしまったので、
ｘ÷１２＝ｘ÷４　－２
という方程式が成り立ちます。

花子さんの式は、「一体、じいちゃんはなんじかんかかって新潟から長岡まで行ったのか？」をｘにしています。
じいちゃんは１時間につき１２ｋｍ進みますから、ｘ時間では
１２ｘ　ｋｍ進んだことになります。
一方、ばあちゃんは、じいちゃんのかかったｘ時間より、さらに２時間多い
（ｘ＋２）時間かかって到達したのですから、１時間につき４ｋｍなので
４（ｘ＋２）　ｋｍの距離を移動したことになります。
これらは等しいので
１２ｘ＝４（ｘ＋２）　という花子さんの作った式になりますね。

＞(2)太郎君、花子さんがつくった方程式の特徴をそれぞれ書いてね。

太郎君が作った式の特徴は、「全体の距離をｘｋｍ」とおいたことです。
このｘをそれぞれの速度で割ったものが、それぞれがかかった時間（所要時間）になります。

花子さんが作った式の特徴は、「じいちゃんのかかった時間」をｘとおいたことです。
この場合、ばあちゃんは、もっと時間がかかっていますから、ｘに２を加えてｘ＋２がばあちゃんの所要時間です。
それぞれの時速を、所要時間にかけると、全体の距離がでます。

＞(3)ばあちゃんのかかった時間をx時間として方程式をつくり、新潟
から長岡までの道のりを求めてね。

では、花子さんが作った式と同じように、ばあちゃんのかかった時間をｘとして
式を作ってみましょう。
ばあちゃんのかかった時間はｘです。じいちゃんは、ばあちゃんより２時間早くついたので、ｘ－２時間しかかかっていません。

さて、じいちゃんの速度は、時速１２ｋｍでしたから、ｘ－２時間でどれだけ進むかというと、
１２（ｘ－２）　ｋｍ進んだことになります。
また、ばあちゃんはｘ時間でどれだけ進んだかというと、時速４ｋｍなので
４ｘ　ｋｍ進んだ、ということになりますね。
じいちゃんの進んだ距離も、ばあちゃんの進んだ距離も、同じ新潟から長岡までの距離なので等しい。
したがって
１２（ｘ－２）＝４ｘ
という方程式が出来ますね。
これを解いて、ｘ＝３
よって、新潟から長岡までの距離は、１２ｋｍ、ということが求められます。

中学生に教えるのは、高校生に教えるのより、はるかに難しいですよね。
うまく伝わればよいのですが・・・頑張ってください。

お礼

詳しく教えてもらい、参考になりました。
本当にありがとうございました。感謝しています。

回答No.6

Largo_sp

私の考え方では.....
まず等式や不等式は、同じものでないと比べられないということが前提になっていますが...
（１）太郎君の方程式のx/12と、x/4-2は何を表しているのかなぁというところ
からはいります。

x/12というのは、12で割っているから、何かを、12で割っているます。
12というのは、この問題では、じいちゃんの速さです。
x/4-2の、x/4も何かじいちゃんの速さで割ったものと同じものを4、これは、ばあちゃんの速さで割っています。
そこから、2を引いています。この2は、ばあちゃんの余分にかかった時間です。
余分にかかった時間を引いてそれが等しいということは、x/4はばあちゃんのかかった時間、
x/12はじいちゃんのかかった時間だろうと予想できます。
そうしたら、時間は距離÷速さででるから、xは距離だろうと予想できます。
何の距離かは、この場合、新潟ー長岡の距離しか同じものは無いのでその距離となります。

花子さんの方程式の場合
12xも同じく、今度は速さに何かをかけています。
4(x+2)も同様に、何かに2(時間)を足したものに、速さをかけています。
何かと2(時間)が足せるので、何かは時間でないかと予想できます。
実際　速さ×時間が距離なので、2時間足したということは、2時間余分に進んだということなので、
おじいさんのかかった時間に、2時間を足して、おばあさんの速さをかけると
おばあさんの進んだ距離が
おじいさんのかかった時間に、おじいさんの速さをかけるとおじいさんの進んだ距離がでます。
同じ距離を移動したので、この2つは同じになるので、イコールで結ぶことができます。

（２）特徴も上に書いたとおりですよね...
太郎君は、時間に注目して
花子さんは距離に注目して方程式をたてました。

（３）は花子さんの方程式は、じいちゃんのかかった時間をｘと置いたから、
ばあちゃんの時間が、2時間余分にかかったんで、+2してるよね...
ばあちゃんの時間からみると、じいちゃんの時間は2時間足らないので、-2すれば
同じになるよね...

でいいとおもいますが....
他の方とちょっと違った考え方で...

お礼

なかなか解りやすい回答ありがとうございました。
本当に感謝しています。

回答No.5

noname#6364

＃２です、補足します★
（１）太郎君の解き方について
　道のりをｘとおくと、時間は道のりを時速でわってあげれば求めることができます。だからじいちゃんのかかった時間はｘ÷１２＝ｘ／１２時間ということになります。ばあちゃんのかかった時間はｘ／４時間ということになります。ところがばあちゃんはじいちゃんより２時間多くかかった・・・言いかえればじいちゃんはばあちゃんより２時間早くついたということになります。だからじいちゃんのかかった時間はばあちゃんのかかった時間から２時間ひいた時間となります。したがってx/12=x/4-2となります。これはx/12＋２=x/4という考え方もできます。なぜならじいちゃんのかかった時間に２時間をたせば、ばあちゃんのかかった時間になるからです。
x/12=x/4-2・・・このままでは解きづらいですね。分母をはらうために、両辺に最小公倍数の１２をかけます。
x／12×１２＝１２（ｘ／４－２）
ｘ＝３ｘ－２４
－２ｘ＝－２４
ｘ＝１２
（２）花子さんの解き方について
花子さんはじいちゃんのかかった時間をｘとおきました。時速に時間をかければ道のりが求められます。じいちゃんは時速１２ｋｍでｘ時間進んだから12xｋｍになります。ばあちゃんはじいちゃんより２時間多くかかったので、時速４ｋｍで（ｘ＋２）時間進んだことになり、4(x+2) ｋｍということになります。ところが二人とも進んだ道のりは同じ道のりなので、12x=4(x+2) とイコールでつなげることができます。
12x=4(x+2) 　　まずカッコをはずしましょう
12x=4x+８
１２ｘ－４ｘ＝８
８ｘ＝８
ｘ＝１
したがってじいちゃんのかかった時間は１時間となります。じいちゃんは時速１２ｋｍで１時間進んだわけですから道のりは１２ｋｍですね。
（３）ばあちゃんのかかった時間をｘ時間とする場合
じいちゃんのかかった時間はばあちゃんより時間が２時間少ないので（ｘ－２）時間になります。したがって道のりは時速に時間をかければいいのでじいちゃんの道のりは１２（ｘ－２）ｋｍ。ばあちゃんの道のりは４ｘkm。２人の道のりは同じなので１２（ｘ－２）＝４ｘ　。
１２（ｘ－２）＝４ｘ　　まずカッコをはずしましょう
１２ｘ－２４＝４ｘ
１２ｘ－４ｘ＝２４
８ｘ＝２４
ｘ＝３
したがってばあちゃんのかかった時間は３時間ということになります。ばあちゃんの時速は４ｋｍですから、４×３＝１２　答えは１２ｋｍとなります。

★等式の性質（両辺に同じ数をたしてもひいてもかけてもわっても同じになるという性質）や道のり・速さ・時間のことについてはあまりこまごま書きませんでした。ちょっと長くなりすぎそうなので（汗）これでわかりづらかったり、ご質問の主旨とまたズレていたら申し訳ありません。

回答No.4

composer

方程式をほとんど知らない子どもに関してはグラフや図を平行させながら教えます。グラフは、電車のダイヤグラムのように、グラフの下端に新潟、上端に長岡、横軸に時間軸をとります。子どもには視覚的に教えていくほうが納得しやすいです。ここで、到着時間に差ができることが、視覚的にわかります。
この問題で、２人の時間差には２時間の差ができます。
『方程式とは等号で結んだ２式ですから、差があってはいけません』基本的にこの差を消すように考えてゆきます。「おばあさんが２時間早く出れば差は無くなる」もしくは「おじいさんが２時間遅く出れば差は無くなる」ということを理解させてください。差のなくし方が２種類あるから式も２種類できます。

あとは、速さ、時間、距離の３つの量について、相互の関係を子どもにしっかり教えこむ必要があります。　こういう問題を解くにあたって、これらは土台となります。
土台があいまいだとその上に積み重なるものも非常にあいまいになります。底辺が小さいピラミットは小さいピラミットにしかなりません。数学が得意になるか苦手になるかは小・中学での底辺固めできまります。
僕が教えるときは、「木の下にじいさんとばあさんがいる」で教えます。木（距離）ばあさん（速さ）じいさん（時間）というふうに頭の音を合わせてます。
木を三角と棒で書くと、三角のなかに「き」と書き、下には棒をはさんでじいさん「じ」とばあさん「は」がいます。
「じいさんとばあさんは掛け算すると木（距離）になります」
「じいさんと木は、ばあさん部分を手で隠すと分数のようになります「木／じいさん」のように。この式で出てくるのは、手で隠したばあさん（速さ）です」
「同様に「木／ばあさん」はじいさん（時間）です」
まずちゃんと時間・距離・速さの概念について説明した後に（もしくはこの絵を使いながらでもいいですが）あくまでも暗記用と考えてください。

そして、最後に、差のなくし方を、「太郎さんは『距離／速さ』で時間の考えを中心に式を立てている」
「花子さんは『速さ×時間』で距離の考えを中心に式を立てている」ことがわかります

なぜかというと、速さはもう分かっています。速さが分母に来るのは、「木／ばあさん＝じいさん」の式だけだからです。掛け算になるのは「じいさん×ばあさん＝木」のときだけだからです。
式のなかの「２」という数は、もちろん２「時間」です。
足すか引くかは、早く出るか、遅く出るかの違いです。

グラフの斜線（２人それぞれの道のり）の終点の横軸座標（到着時刻）をあわせるためには、
「おじいさんの斜線を横軸左（負）方向に２動かす＝２引く」もしくは
「おばあさんの斜線を横軸右（正）方向に２動かす＝２足す」ということです。
イコールをはさんで、到着時刻修正後の２人の式を結ぶことで、この問題は解決です。

ＰＳ：解答中におじいさん、おばあさんを２つのいみで使ってしまいました。問題文にもおじいさんおばあさんが使われていたので。頭に「お」をつけたものが、問題のほうで、単に「じいさん・ばあさん」としたほうが、暗記用の意味です。紛らわしくてすいません

お礼

解りやすい回答ありがとうございました。
感心する部分が多々ありました。
本当に感謝しています。

回答No.3

kony0

・速さの問題は、「距離、時間、速さ」の３つの要素が出てきます。（事実の説明）
・３つのうち、２つがわかれば、残りの１つは計算できます。（8kmの距離を時速4kmで歩いたら・・・２時間かかる、などの例を使って事実の説明）
・この問題では、わかっているのは速さ。求めたい（けど今はまたわからない）のは距離。（事実の説明）

→「そこで、太郎君は距離をｘとおいて考えようとしました。」（先生が言い切っちゃってよいでしょう）

さて、速さがわかっていて、距離もｘとおいたので、「時間が計算できるよね？」さっそくやってみましょう。
（以下、先生：T、生徒：Sで）
T:じいちゃんのかかった時間は？
S:x/12（時間）です
T:ばあちゃんのかかった時間は？
S:x/4（時間）です

ここでポイント！速さの文章題を方程式を使って解くコツは・・・？
「３つのうち２つの情報があれば→３つめの情報は計算できる→その３つめの情報について式を作ってみること！」

T:今で言うと、「速さはわかってる、距離も文字でおいた→時間を計算したよね？（確認）→じゃあ、この時間について式を作れないか？」
S:（ばあちゃんの時間）＝（じいちゃんの時間）＋２時間だ！
T:それを式に直すと？
S:x/4=x/12+2

・・・ちなみに、「ばあちゃんはじいちゃんより2時間多くかかりました。」とあるので、この文章を式に翻訳すると、「（じいちゃんの時間）＝（ばあちゃんの時間）－２」ではなく、「（ばあちゃんの時間）＝（じいちゃんの時間）＋２」であるべきと思います・・・

じゃあ今度は花子さん。

花子さんは、「距離を求めたいんだけど、時間がわからないとわかんない」って思ったみたいです。(笑）だから時間を文字でおいてるんやねぇ。
じゃ、ちと聞いてみるか。この方程式では、じいちゃんの時間、ばあちゃんの時間、どっちをxとおいてると思う？（私なら、全員に挙手させるかなぁ。「じいちゃんと思う人」「ばあちゃんと思う人」「さっぱりわかんない人(汗）」）
・・・この問題は「じいちゃんの時間」をx（時間）とおいてるね。
じゃ、ばあちゃんの時間は？→x+2（時間）→なんで？→問題に書いてあるやん。→OK!そうやなぁ♪

T:じゃ、ここで速さと時間がわかったから・・・次なにする？
S:距離求める。
T:おぉ、そのとおりや。じゃ、さっそく求めてくれ。
S:じいちゃん12x(km), ばあちゃん4(x+2)(km)
T:そうやなぁ。で、さっきのポイントからいくと、次なにする？
S:・・・う～ん、わからん。
T:もう一度ポイント見てくれ．３つめの情報としていま距離を求めたんやなぁ。じゃあ距離に関する式作ろうか。
　いま、２つの距離を求めたけど、これって「どっちも新潟～長岡の距離」やんなぁ。おじいちゃんバージョンとおばあちゃんバージョンがあるわけやねんけど。
　じゃ、どんな式ができる？

ってな感じでしょうか。(笑）

こういう、方程式がすでにあって、それの解釈をさせる問題、こういうのって非常に重要と思います。がむばってください。^^

お礼

子供とのやりとりをシュミレーションまでして
いただいて、とても解りやすかったです。
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#6364

(1)太郎・・・新潟から長岡までの道のり。花子・・・じいちゃんがかかった時間。

(2)太郎・・・方程式を解くとｘ＝１２　道のりが求められる。花子・・・方程式を解くとｘ＝１　じいちゃんがかかった時間が求められる。じいちゃんは毎時１２ｋｍで自転車で１時間進んだことになるから、道のりは１２ｋｍ。太郎君の解きかたの方がすぐみ求めたいもの（道のり）が求められる。

(3)ばあちゃんのかかった時間をx時間とすると、じいちゃんのかかった時間は（ｘ－２）時間になるので、１２（ｘ－２）＝４ｘ　これを解くとｘ＝３　ばあちゃんは毎時４ｋｍで３時間進んだことになるので道のりは１２ｋｍ。

補足

回答ありがとうございました。
確かに大人の僕には解りやすいですが、方程式を殆ど知らない子供と仮定して、今一歩納得出来るような回答をお願いします。
(1)じゃあなぜ、それぞれその答えになるのか？
(2)方程式を解く過程もわかり易く教えてください。
１１時頃まで僕のほうは時間ありますので、よろしくお願いします。

回答No.1

tan777tan

１）太郎くんは新潟－長岡　間の距離をＸに、花子さんはかかった時間をＸとしました。
２）ですから、太郎くんは距離を時速で割って、二人のかかった時間が同じとして、花子さんはかかった時間に時速を掛けて２人の動いた距離が同じとして方程式をたてました。
３）おばあちゃんはおじいさんより２時間多くかかったのだから、おばあちゃんが時速４キロで歩いた距離４Ｘと、おじいさんはおばあちゃんより２時間少なかったから、（Ｘ－２）時間走ったからその時間に時速を掛けて動いた距離となり、ふたりの動いた距離がおなじになるから
　　４Ｘ＝１２（Ｘ－２）となります。

お礼

回答ありがとうございました。
感謝しています。

補足

回答ありがとうございました。
大人のぼくにはわかり易いですが、方程式をにがてとする
子供にも納得できるような、もう一歩踏み込んだ回答をお願い
できますでしょうか。
1)じゃあ、それぞれどうしてその答えになるのか？
2)ちょっとよくわかりません。ごめんなさい。
3)たぶんこの説明で子供でも解ると思います。
僕は11時頃まで時間あるので、子供が納得して”よく解った！”
と言ってくれるような説明をお願いします。