放物線の定義について

質問

ある大学の入試問題で、問題文中に、

「放物線　y＝ax^2＋bx＋c」

との記述があったため、私は無意識に　ａ≠０　であることを前提に問題を解き進めました。
しかし、解答には ａ＝０　のケースも考えなくてはならないようになっていました。

私の頭の中では、「　放物線　→　２次の項の係数≠０　」という図式が完全に支配していたのですが、これは間違いなのでしょうか。
厳密には　ａ＝０　のケース（すなわち、１次関数？）も、放物線の極限状態と解釈するということなのでしょうか？

大変初歩的な質問であるかも知れませんが、高等数学に詳しい方、どなたかご教授よろしくお願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんばんは。理系のおっさんです。

入試の問題文に「放物線　y＝ax^2＋bx＋c」と書かれているのですよね？

模範解答は、その大学の入試の正答ではなく、入試問題集を出版した人が勝手に書いている解答です。
ａ＝０　の場合は放物線とは呼ばないのは当たり前のことなので、
模範解答に書かれている「ａ＝０」のケースは、問題への解答としては不要です。

＞＞＞厳密には　ａ＝０　のケース（すなわち、１次関数？）も、放物線の極限状態と解釈するということなのでしょうか？

いえ。そう考える必要はありません。
ａ→＋０　の極限と　ａ→－０　の極限とで、下に凸なのか上に凸なのかが分かれます。
そして、極限ではない具体的な　ａ＝０　という値においては、放物線としての意味を完全に失います。

＞＞＞大変初歩的な質問であるかも知れませんが

いえ。初歩的ではありません。
模範解答を書いた人が悪いのです。

こんなことで悩むのは時間の無駄なので、どんどん次の勉強、いきましょう。

ご参考になりましたら。

お礼

大変丁寧なご解答、有難うございます。

皆さんへお礼の内容を書いている最中に、問題を解答する上で、自身に欠落していた他の点があることに気づきました。

問題は、ｙ＝０ と y＝x^2 に対し、１つずつ共有点を持ち、かつ第１象限の定点を通る放物線の係数を求めよという問題でした。

数学のセンスが無いので、ついａ＞０であるとだけ決め込んで問題を考えてしまっていましたが、ａ＝１のときは、y＝ax^2＋bx＋c は y＝x^2 を平行移動したもの（合同）になり、共有点は１つだけになるのですね。そこに気がついていませんでした。大変失礼いたしました。

回答No.2

mister_moonlight

＞しかし、解答には ａ＝０　のケースも考えなくてはならないようになっていました。

具体的な問題が分からないから断定できないが、a≠0は前提になっているが、どこかでa≠0を断らなければならない箇所があったのではないかな？
例えば、係数a、b、cを求める問題で、a*（a-1）＝0という結果になった場合とか。。。。。？

お礼

ご解答有難うございます。
確かに、係数を求める問題でした。ただ、問題文に放物線とあったので、ａ≠０だろうと決めてかかってしまったのです。

回答No.1

owata-www

解答がどのような意図でa=0のケースを考えているのかは分かりませんが、a=0のケースは放物線ではありません

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%94%BE%E7%89%A9%E7%B7%9A

ただ、どちらにしてもａ≠０は解答に明示しなくてはならないと思いますが

お礼

すばやいご解答、有難うございます。
問題を、もう少し具体的に一部掲載すべきでしたね。
ａ≠０に関して、間違っていなくてとりあえずホッとしました。