虚数

質問

私は、記号の計算がよわいです。
宿題で、

（i＋1/√5）＾4t-（i-1/√5）＾4tを簡単な式に直すことができません。
私が計算するとどんどんややこしくなってしまいます

回答No.5

noname#24477

遅くなって今更ですが
再度確認、ｔは整数ですよね。あるいは分数や、実数としての指数計算をやっていないですか？

例えばこの式でｔ＝1/4　の場合を考えたら０にならないことは明らかです。
ところで
（i＋1/√5）＾4t＝｛（i＋1/√5）＾4｝＾t
ですからまず４乗を計算（２乗の２乗）すればすぐに簡単になります。
（ｉ＋１）＾２＝－１＋２ｉ＋１＝２ｉ
（ｉ＋１）＾４＝（２ｉ）＾２＝－４

同じように
（ｉ－１）＾４＝（－２ｉ）＾２＝－４
なのでｔが整数のときは＝０になるのは明らかです。
ｔが整数でないときは
４ｔ乗を（４乗のｔ乗）と分けることが不適切になりますので０とは言えません。

回答No.4

Aquoibonist

(i+1)/√5、(i-1)/√5だと解釈して、問題を解きます。
まず与えられている式は
{(i+1)^(4t)-(i-1)^(4t)}/(√5)^(4t)　　・・・(1)
となります。
極形式による表示では
1+i=√2(cos45°+i*sin45°)
-1+i=√2(cos315°+i*sin315°)
　　=√2(cos(-45°)+i*sin(-45°))
ド・モアブルの定理
(cosθ+i*sinθ)^n=cos(nθ)+i*sin(nθ)より
(i+1)^(4t)=(√2)^(4t)*(cos(45°*4t)+i*sin(45°*4t))
=(√2)^(4t)*(cos(180°*t)+i*sin(180°*t))
=(√2)^(4t)*cos(180°*t)
なぜならi*sin(180°*t)は0だから。
同様に、
(-1+i)^(4t)=(√2)^(4t)*(cos(-45°*4t)+i*sin(-45°*4t))
=(√2)^(4t)*(cos(-180°*t)+i*sin(-180°*t))
i*sin(-180°*t)=0なのは上と同様。
cosは偶関数なので、cos(-θ)=cosθが成り立つから
cos(-180°*t)=cos(180°*t)
したがって
(-1+i)^(4t)=(√2)^(4t)*cos(180°*t)
結局(i+1)^(4t)-(i-1)^(4t)は
(i+1)^(4t)-(i-1)^(4t)
=(√2)^(4t)*cos(180°*t)-(√2)^(4t)*cos(180°*t)=0で
(1)式の分子は0になるので、与えられた式の値も0になる。
複素数の極形式表示やド・モアブルの定理などについては、教科書等を
参照してください。

回答No.3

neue_reich

三角関数に変換して解くのはＯＫですか？

(1/√5+i)=a(cosθ+isinθ) （a*cosθ=1/√5、a*sinθ=1 とする）
と変換し、
cosθ+isinθ　の部分をオイラーの公式を使ってeで置き換えてやれば、
（i＋1/√5）＾4t=a*e^iθ*4t というように変換できると思います。

ここでは、aとかθを使っていますが、実際に解くときにはaやθは何らかの具体的な
値にできると思います。

回答No.2

noname#24477

ｔには何も条件は無いですか？整数とか。

（i＋1/√5）は、このままだとi＋（1/√5）の意味に読めてしまうのですが
（ｉ＋１）/√５ではないですか？
｛（ｉ＋１）/√５｝＾４ｔ　？
４ｔのところは（４ｔ）乗？　４乗かけるｔ？

補足

お返事ありがとう
tは条件がありません。
４ｔのところは（４ｔ）乗です。
iは虚数範囲です。

答えは0です

回答No.1

kony0

a=i+1/√5, b=i-1/√5とし、求める式をP(t)=a^(4t) - b^(4t)とおきます。

P(t+1)=P(t)*(a^4+b^4) - a^(4t)b^4 + a^4b^(4t)
=(a^4+b^4)*P(t) - (ab)^4*P(t-1)

が成り立つと思うので、このあたり（漸化式）からとき崩せませんか？
（私は計算がごついのでへこたれてしまいましたが）

補足

漸化式はよくわかりません。
考えてくれてあいらがとうございます。
漸化式について調べてみます。