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関数に行う最小二乗法
ベクトルではなく任意の関数g(x)を p個の正規直交関数g1(x),g2(x),・・・, gp(x) で最適近似したときの近似誤差をEp(x)としたき ∫Ep(x)＾2 はどのように表せるのですか？
- sennkeiota
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- arrysthmia
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そこは、自明でしょう。 p が大きくなって、増えた分の k について、 c_k = 0 とすることもできるのだから、 p が増えて最小誤差が増えることは、ありえない。 狭義に減少であることを示すには、 有限個の g_k では基底にならないことを使うかな？
- arrysthmia
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係数 c_k を置いて、 Ep(x) = g(x) - Σ[k=1…p] c_k g_k(x) としたのでしょう？ Ep(x)^2 の括弧を展開して、誤差二乗和 ∫ Ep(x)^2 dx を c_k の多項式で表す ことは、できなくはありませんが、あまり計算の役には立ちません。 ∫{ g(x) - Σ[k=1…p] c_k g_k(x) }^2 dx という式形のまま 各 c_k で偏微分して、最小二乗法の作業を進めるほうが、得策です。 計算を進める前に、積分が収束する状況設定ができているかどうか確認 しましょう。 積分区間が有界だとか、g(x) や 各 g_k(x) が二乗可積分だとか…
お礼
ご回答ありがとうございます。すいません。 p個の正規直交関数g1(x),g2(x),・・・, gp(x) は有限個でした。 ちなみに、pが大きくなると誤差二乗和 ∫ Ep(x)^2 dx は小さくなることを証明するのは簡単ですか？
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そうですね！c_k = 0 とすることもできるのだから、 p が増えて最小誤差が増えることは、ありえない。 確かにそれだけでも言えますね！ アドバイスありがとうございます！