ベクトルの終点の存在範囲（三角形）が分かりません

質問

こんばんわ！今数学Bのベクトル（平面）でどうしても分からない部分があります・・・
それは「ベクトルの終点の存在範囲」です。
参考書の解説には以下のように記載されいます。
S＋T≦１、S≧０、T≧０で
ベクトルP＝ベクトルSａ＋ベクトルTb
なら三角OABの内部と周を動く、とありました。

しかしこの説明が何回読んでもわかりません。

参考書ではS＋T＝Ｋ、０≦Ｋ≦１、S＝S’Ｋ、T＝T’Ｋ、として
ベクトルＰ＝S’（ＫベクトルA）＋T（ＫベクトルB）、
S’＋T’＝１、S’≧０、T’≧０．
とありました。
しかし全く何がなんだか分かりません。
まずS＋T＝Ｋと置く意味が分かりません。

どうか宜しくお願いします

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

方眼紙を持っていますか？
目が粗いものでもよいです。

Ｘ－Ｙ座標系の十字を作り、交わるところを原点（０，０）とします。
そして、
座標が（５，０）のところを点Ａ、（位置ベクトルはａ→）
座標が（０，５）のところを点Ｂ、（位置ベクトルはｂ→）
としてみましょう。
そして、点Ａと点Ｂを直線で結びます。

線分を内分する点の位置ベクトルの式は習いましたか？
（基本事項です。）

線分ＡＢを内分する点（のすべて）を表す式は、
ＯＡ→　＋　ｔＡＢ→　＝　ＯＡ→　＋　ｔ（ＯＢ→　－　ＯＡ→）
　＝　（１－ｔ）ＯＡ→　＋　ｔＯＢ→
　＝　（１－ｔ）ａ→　＋　ｔｂ→
（ただし、０≦ｔ≦１　）

です。

ということは、
（１－ｔ）ａ→　＋　ｔｂ→
のｔの値を　０≦ｔ≦１　の範囲で色々動かせばは、
線分ＡＢを端から端まで「塗りつぶす」ことができます。
ここで、
１－ｔ　＝　Ｓ
ｔ　＝　Ｔ
と置けば、
Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ＝１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）
となります。

今度は、ａ→　を短くして、４／５・ａ→　にしてみます。
すると、
４／５・Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
は、点（４，０）と点（５，０）を結ぶ線分を「塗りつぶす」式になります。

ａ→　を短くして　３／５・ａ→　とし、
ｂ→　を短くして　２／５・ｂ→　とすれば、
今度は、点（３，０）と点（２，０）とを結ぶ線分を「塗りつぶす」式になります。

こんなことを色々やっていくと、△ＡＢＣの全体が塗りつぶされます。
△ＡＢＣの外にはみ出して塗ることもありません。

ですから、

Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ＝１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）

を

Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ≦１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）

にすることによって、（と言っても、但し書きの＝を≦に書き換えただけですが）、
△ＡＢＣの内部と周囲がすべて塗りつぶされるということになるわけです。

以上、ご参考になりましたら幸いです。

補足

ご回答を感謝します。
確かにこういうことを繰り返せばいずれは三角形全部を塗りつぶす事になりますね。

一つ引っかかったところがありまして汗

S＝t－１、なので
S＋T＝（１－t）＋t＝１になるのは
いいのですが何故S＋T≦１という事が起こりうるのでしょうか？
これはtについての恒等式で
如何なるtの値に（Sも）関わらず
S＋T＝１になる気がします。

宜しくお願いします

回答No.4

sanori

補足コメントにお答えします。

＞＞＞
一つ引っかかったところがありまして汗
S＝t－１、なので
S＋T＝（１－t）＋t＝１になるのは
いいのですが何故S＋T≦１という事が起こりうるのでしょうか？
これはtについての恒等式で
如何なるtの値に（Sも）関わらず
S＋T＝１になる気がします。

Ｓ＋Ｔ＝１　は、線分ＡＢを内分する点の場合であり、
線分ＡＢだけしか塗りつぶすことができません。

Ｓ　を　４／５・Ｓ　に取り替えたものが、前回回答の
「今度は、ａ→　を短くして、４／５・ａ→　にしてみます。」
という例に該当します。

Ｓ　を　３／５・Ｓ　に取り替え、
Ｔ　を　２／５・Ｓ　に取り替えたものが、
前回回答の
「ａ→　を短くして　３／５・ａ→　とし、
　ｂ→　を短くして　２／５・ｂ→　とすれば」
という例に該当します。

つまり、ａ→　や　ｂ→　の係数が、０以上１以下だということです。

さて、
Ｓに０以上１以下の数をかけたものを新たに　Ｕと置き、
Ｔに０以上１以下の数をかけたものを新たに　Ｖと置けば、
Ｕａ→　＋　Ｖｂ→
が△ＯＡＢの全体を塗りつぶす式となり、
その但し書きは、
Ｕ＋Ｖ　≦　１　、　Ｕ≧０　、　Ｖ≧０
となります。

前回回答では、
----------------------------
Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ＝１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）
を
Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ≦１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）
にすることによって、（と言っても、但し書きの＝を≦に書き換えただけですが）、
△ＡＢＣの内部と周囲がすべて塗りつぶされるということになるわけです。
----------------------------

と書きましたが、
上記のＵ，Ｖを使って書けば、

----------------------------
Ｓａ→　＋　Ｔｂ→
（ただし、Ｓ＋Ｔ＝１、Ｓ≧０、Ｔ≧０）
を
Ｕａ→　＋　Ｖｂ→
（ただし、Ｕ＋Ｖ≦１、Ｕ≧０、Ｖ≧０）
にすることによって、
△ＡＢＣの内部と周囲がすべて塗りつぶされるということになるわけです。
----------------------------

となります。
上記のＳ、Ｔがご質問文にあるＳ、Ｔと違っていてすみませんが、
文字を単に入れ替えたのと同じことですので。

では。

回答No.3

KI401

斜交座標で捉えられると一番理解しやすい。

適当にフリーハンドで以下のことをしてみてください。

[step.a] 斜交座標：
1. 紙を用意
2. 原点からベクトルa,bの矢印を図示（太い目で）
　このとき、普通のXYの座標軸は書かない方がいい
3. a,bの方向にそれぞれ直線を延ばす
4. a,bの矢の先っぽあたりに数字の「1」を書く
5. aの方向に伸ばした直線の先の方に「ｓ」と書く（ｘ軸の「ｘ」のように）
　bについても同様に「ｔ」を書く

[step.b]
「S＋T≦１、S≧０、T≧０」という条件をST座標に図示する：
1. 同じ紙の裏とか、もしくは別の紙を用意
2. XY座標軸と同じように、ST座標軸を描く
（ｓ軸の「ｓ」、ｔ軸の「ｔ」もきちんと書く）
3. 直線S+T=1, S=0, T=0を描く
4. 囲まれた部分（交点は原点、(1,0)、(0,1)）が条件を満たす領域なので、
　その三角形の領域に斜線を引くなどする
5. 分かりやすく、S=1, T=1の場所（交点の場所）に「１」を書く

さて、これで準備はできた。
二つの図a,bを眺め比べながら、軸の「ｓ」「ｔ」と、「１」と書いた場所に注目して、
図bを適当に「ナナメ」に歪めることで図aに重なるようイメージを働かせる。
図bの斜線領域が図aの上に乗るところは容易に想像できるはず。
その部分が三角形OAB（とその内部）であり、点Pの動ける範囲だ。

この方法は今回見た「S+T≦1…」などの条件でなくても、一般の場合に対して適用できる。
例えば京大の入試問題（だったと思う）で、ベクトルの条件が与えられていて、
パラメータを動かすことを丁寧に場合分けしながら図示すると六角形が現れる問題があったが、
直交座標上で条件を図示するといとも簡単に六角形が現れるので、
それを斜交座標に持っていけば存在範囲が「この部分だ」とすぐに分かる。

# 勿論、慣れてくればstep.bは飛ばしてすぐにstep.aの斜交座標上に目的のものを描けるようになるだろう。

理屈は#1,#2が説明している通りだから、「イメージ」で解説してみた。参考になれば幸いです。

回答No.1

masa072

まず，基本事項を確認します。
vac{a},vec{b}をA,Bの位置ベクトルとします。
vec{p}=svec{a}+tvec{b}(s+t=1)は直線AB，
vec{p}=svec{a}+tvec{b}(s+t=1,s≧0,t≧0)は線分ABを表します。
ここまではいいとしましょう。
（分からなければ内分・外分公式そのままですから自分で確かめましょう）

s+t≦1ということは，s+t=kとおけば0≦k≦1となります。
s+t=kのとき，s+tをk倍していますから，vec{a},vec{b}の長さをk倍した2点を結んだ線分になります。
それを0から1まで自分で定規で線をがしがし引っ張っていきましょう。そうすれば△ABCの周および内部を表すことがわかります。

補足

早速のご回答を心から感謝します。
masa072さんがおっしゃったように図示してみました。

S＋t＝Kの時s＋tをk倍、というのが少し引っかかりました汗

これはs+t≦1の時の等号が成立する限りにおいて
k倍になる、という解釈で宜しいでしょうか？
しかしそうするとs＋tが１より小さい時はどのように
s＋tはあらわされるのでしょうか？