球の表面積（途中過程もお願いします。)

質問

半径がaの球を書きます。中心は原点にとって下さい。そこから積分を使って球の表面積を出して下さい。途中過程を宜しくお願いします。

回答No.6

stomachman · ベストアンサー

●一般に、回転体の表面積を求める問題と考えましょう。
滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx　(dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、２点(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と(x+dx,f(x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分したものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
さて、この線分をx軸のまわりで回転させて作った円環の面積をs(x)dxとすると、（高次の無限小を無視して）円周の長さは2πf(x)、円環の幅がv(x)dxだから、
s(x)dx = 2πf(x)v(x)dx
従って
s(x)=2πf(x)v(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}
となります。
これをx=aからx=bまで積分すれば回転体の側面の面積Aが得られる。
A = integral{x=a～b} s(x) dx

●では球面の場合。
f(x)=√(r^2-x^2) (r>0, x∈[-r,r])
の場合はどうかと言いますと、
f'(x)=df/dx=-x/√(r^2-x^2)=-x/f(x)
だから
s(x)=2πf(x)√{1+ f'(x)^2}=2πf(x)√{1+ (x^2)/(f(x)^2)}
　=2π√{(f(x)^2)+ x^2}=2π√{(r^2-x^2)+x^2}=2πr
面白いことに、s(x)はxに依らない定数になってしまいます。そして
A = integral{x=-r～r} s(x) dx
　= integral{x=-r～r}(2πr) dx
　= (2πr)(2r) = 4π(r^2)

●同じ事を極座標でやってみましょう。x=r sinθ, y=r cosθとします。
θからθ+dθまでの円弧の長さは(r dθ)。これをx軸のまわりで回転させて作った円環の半径はy=r cosθだから、この円環の面積をa(θ)dθとすると、幅(r dθ)×長さ(2πy)で表される。つまり
a(θ)dθ=2π(r cosθ)(r dθ)=2π(r^2) cosθ dθ
従って表面積Aは
A = integral{θ=-π/2～π/2} a(θ)dθ
　= 2π(r^2) integral{θ=-π/2～π/2} cosθdθ
　= 2π(r^2) [sin(π/2)-sin(-π/2)]
　= 2π(r^2) [1-(-1)]=4π(r^2)

これならどうでしょう。

補足

＞滑らかな関数f(x)による
y=f(x) ≧ 0 (x∈[a,b])
のグラフをx軸のまわりに回転させて出来るものの側面の面積A。
このグラフy=f(x)の、xとx+dx　(dxは微小量)の間の部分だけ考えますと、２点
(x,f(x))と(x+dx,f(x+dx))を結ぶ線分で近似できます。即ち(x,f(x))と
(x+dx,f (x)+f'(x) dx )を結ぶ線分です。ここにf'(x) はf(x)をxで微分した
ものです。この線分の長さをv(x)dxとすると、
v(x)dx=√{(dx)^2 + (f'(x) dx)^2} = dx√{1+ f'(x)^2} 。
とありますが、2点で近似できるとは側面積の事ですか?それから、お手数ですが「即ち～」からどうしてそう言えるのか教えて下さい。