恒等式における数値代入法について

質問

高校数学IIの教科書には、
「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
等式f(x)=g(x)がn+1個の異なるxの値に対して成り立つならば、
この等式はxについての恒等式であることが知られている」
と書いてあります。
これについての証明は教科書に書いてありませんが、事実として
は教科書に明記されているのでこのことを使っても構いません。
つまり、「f(x)、g(x)がxのn次以下の多項式であるとき、
数値代入法で、n+1個のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は不要」であり、
「f(x)、g(x)がxのn次の多項式であるとき、
数値代入法で、n個以下のxの値を代入して答えが出たときは
十分性の確認は必要」と言うことです。

では、f(x,y,z…)、g(x,y,z…)がx、y、z…のn次以下の多項式である
とき、等式f(x,y,z…)＝g(x,y,z…)が一体何個の異なるx、y、z…の値
に対して成り立つならば、この等式はx、y、z…についての恒等式
であることが知られているのでしょうか？

たとえば、「2x^2＋axy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y＋b)(x－3y＋c)
がx，yの恒等式になるように，定数a，b，cの値を定めよ．」
という問題の場合、数値代入法で解くと、

2x^2＋axy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y＋b)(x－3y＋c)………(1)とする．
　(1)にx＝0，y＝0を代入すると，－1＝bc………(2)
　(1)にx＝0，y＝1を代入すると，0＝(1＋b)(－3＋c)………(3)
　(1)にx＝1，y＝1を代入すると，a＋3＝(3＋b)(－2＋c)………(4)
　(3)から，b＝－1またはc＝3

i).b＝－1のとき，(2)から，c＝1
　　(4)に代入すると，a＋3＝－2　　　∴a＝－5
　　このとき，(1)は
　　　2x^2＋5xy－3y^2＋x＋4y－１＝(2x＋y－1)(x－3y＋1)　となり，
常に成立する．

ii).c＝3のとき，(2)から，b＝－1／3
　　(4)に代入すると，a＋3＝3－（1／3）　　　∴a＝－1／3
　　このとき，(1)は
　　　2x^2－xy／３－3y^2＋x＋4y－1＝(2x＋y－1／3)(x－3y＋3)
　　＝2x^2－5xy－3y^2＋17x／3＋4y－1
　となり，これはｘ，ｙの恒等式ではない．

i).，ii).から，答はa＝－5，b＝－1，c＝1である．

となります。この場合、f(x,y)、g(x,y)はx、yの「２」次の多項式
ですが、「２＋１」個のx,yを代入しても十分性の確認は
必要でした。

回答No.1

incd · ベストアンサー

定理として知っているわけではないので確たる自信はないですが…

(x,y)の場合は、多分6つじゃないでしょうか。というのは、展開した時に
x^2, y^2, xy, x, y, 1
の6つの項ができるので、それぞれに対応する6つの係数を定めるために一般的には6つの等式が一般には必要になると思います。

この考え方で行くと、k変数n次の場合は、k^n+k^(n-1)+…+k^0個が必要になりますね。というのは、n次の項はk^n通り作れるのからです。ちなみに、k=1を代入するとn+1になります。

お礼

>>(x,y)の場合は、多分6つじゃないでしょうか。というのは、
>>展開した時にx^2, y^2, xy, x, y, 1
>>の6つの項ができるので、それぞれに対応する6つの係数を定める
>>ために一般的には6つの等式が一般には必要になると思います。
なるほど、と思いました。
原理が理解できただけでも満足です。
ありがとうございました。

回答No.3

incd

先ほどの計算は間違いです。忘れてください。

回答No.2

Tacosan

k変数 n次多項式で必要な組み合わせは, たぶん (k+n)!/(k!n!) = (k+n)Ck です.
方針は #1 の通りで「k変数で高々 n次の単項式を数える」ことに帰着されるのですが, これは「(k+1)変数の n次単項式を数える」ことと等価です. そして, この数は結局重複組み合わせ (n+1)Hk = (k+n)Ck であらわされます.
最初はもっと複雑奇怪な方から攻めたんだけど, 結論からみればこれだけ.

お礼

またまたTacosanさんですか！？
いつもいつもありがとうございます。
なるほど、結構単純な数え方なんですね。
原理が理解できただけでも満足です。
ありがとうございました。