大学の微分方程式の問題です

質問

y"-4y'+4y=6+(e^2t)/2

未定係数法でやろうとしてみたのですが右辺の6が邪魔でうまくできなく、定数変化法で解くと非常に長くなってしまうのですが、誰か解ける方いらっしゃいますか?

回答No.3

jaspachate · ベストアンサー

定数係数ならば特性方程式の解をα、βとすれば、
y''-(α+β)y'+αβ = (y''-αy') - β(y'-αy)
の形になります。重解であっても同じで、α=βとする。

任意の関数 z(t) と任意の定数 k について、
z'- kz = (z e^(-kt))' e^(kt)
となる事実を使えば、
(y''-αy') - β(y'-αy)
= { (y'-αy)e^(-βt) }'e^(βt)
= { (ye^(-αt))' e^(αt) e^(-βt) }' e^(βt)

このように変形できる、というところが特性方程式を用いる本質的な意味です。この基本に立ち戻れば簡単に解けることがわかるでしょう。

y''-4y'+4y = f(t)
であれば α=β=2 なので、簡単になり、
( ye^(-2t) )''e^(2t) = f(t)
( ye^(-2t) )'' = f(t)e^(-2t)
であとは簡単な求積です。

( ye^(-2t) )' = ∫f(t)e^(-2t) dt + A
ye^(-2t) = ∫dt∫f(t)e^(-2t) dt + At + B
y = { ∫dt∫f(t)e^(-2t)dt }e^(2t) + (At+B)e^(2t)
（A、Bは積分定数)

これに f(t) = 6 + e^(2t)/2 を代入して計算すればめでたくなります。積分定数は先に考慮しているので、{}内の積分は不定積分です。
(At+B)e^(2t) が斉次式の一般解で、第一項が特殊解を与えるのは一目瞭然です。

回答No.2

info22

特性方程式の２つの解が「-2」の重解になります。
ので同次微分方程式の一般解は
y1=C1e^(2t)+C2*te^(2t)
となり、
さらに微分方程式の左辺にy1の中の項が現れますので
特殊解は
y2=(a+bt+ct^2)^e^(2t) +k
の形になります。これを元の方程式に代入してa,b,c,kを未定係数法で
決定してください。
>右辺の6が邪魔でうまくできなく、
この対応は特殊解の最後の定数kを入れることで対応できます。
k=6/4=3/2

回答No.1

Tacosan

えぇと, y'' - 4y' + 4y = 6 の解と y'' - 4y' + 4y = (e^2t)/2 の解の和を求めればいいだけではないかな.