回転の運動エネルギー

質問

同じ斜面で同時に同じ高さから、球と円盤と輪を転がしました。
円盤は乾電池のように穴が開いていなく、輪は空いているものです。
すると、質量、半径に関係なく、球、円盤、輪の順番で下に転がり下る。
それは何故か教えてください。

回答No.3

yokkun831

補足させてください。
benbendさんが，どういう予備知識をもっていらっしゃるかわかり
かねますが，No.2さんの回答がもし理解できるのであれば，以下の
内容が理解されると思います。

並進の運動エネルギーは，1/2・mv^2
回転の運動エネルギーは，1/2・Iω^2

ここで，慣性モーメント（回転の慣性を表す量）は，一般に
I=α×mr^2　という形に書けます（軸対称の剛体の場合）。
また，v=rωという関係が成り立つので，
回転の運動エネルギーは，1/2・αmv^2
となり，運動エネルギーは合計で
K = 1/2・(1+α)mv^2
となるのです。一方，重力による位置エネルギーも質量mに比例する
ために，同じ高さまで転がり下りた後の速さは，質量mや半径rに
関係なく，αすなわち形のみで決まります。

回答No.2

okada2728

よくある考え方は、力学的エネルギー保存則を使い、坂の上にあるときに持っていた位置エネルギーEが、坂の下では並進運動エネルギーK＋回転運動エネルギーUに変化している。このとき両者のエネルギーは保存しているので、
　E＝K＋U
という関係にあり、坂の下でKが大きいほどUは小さくなっていることになります。
このUについては物体の慣性モーメントIと角速度ωを使って
　U＝(1/2)Iω^2
で与えられますが、Iは物体の形状によって決まっており、
I球=2/5mr^2
I円盤=1/2mr^2
I輪=mr^2
であり、
　I球＜I円盤＜I輪
の関係にあるため、
　U球＜U円盤＜U輪
これから
∴K球＞K円盤＜K輪
すなわち、仰る順番で下に到達するのではないでしょうか。
ただし、’質量、半径に関係なく’かどうかはよくわかりません。

お礼

分かりやすかったです。
ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

よ～するに「転がりやすさ」が違う, んでは?