経済学の・・・

質問

経済学のオイラー方程式の導出なのですが、
こちらのほうが分かる方が多い気がするので
質問させていただきます。

maxΣβ^t u(f(kt)-kt+1)（Σはt=0から∞まで）
s,t 0<kt+1<f(kt)

を満たすktを最適解として、
最適解は存在し、一意に決まります。

（t,t+1は添え字、ktはある数列,u,fは関数でf'>0,f''<0,u'>0,u''<0を満たしています。)

この時、
ある別の経路kt'（ダッシュ）からkt+1'（＝ｙとします。）を取ってきて、それ以外のkt'はktと同じ値をとるとします。

その時、
Σβ^t u(f(kt)-kt+1)≧Σβ^t u(f(kt')-kt+1')
が成り立つので、
u(f(kt)-kt+1)+βu(f(kt+1)-kt+2)≧ u(f(kt)-y)+β u(f(y)-kt+2)
が成り立ちます。
ここから、
-u'(f(kt)-kt+1)+βu'(f(kt+1)+kt+2)f'(kt+1)=0
が成り立つのですが、最後の式の導出の仕方が分かりません。
ご教授いただけたら幸いです。

おそらく説明足らずな部分がある気がするので、
なにかご不明の点がありましたら補足させていただきます。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

失礼。訂正です。
g(k[τ+1]) が最小値である　→　g(k[τ+1]) が最大値である
極小点 y = k[τ+1] において　→　極大点 y = k[τ+1] において

その変形に沿うよりも、最初から、
Σβ^t u(f(k[t])-k[t+1]) を k[ ] の一つの項 k[θ] の
一変数関数と見て、増減を考えれば、
(∂/∂k[θ]) Σβ^t u(f(k[t])-k[t+1]) を計算して…
とやったほうが単純でした。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。

なるほど。変形してもいきなり微分を考えても同じことですね。

おかげさまで勉強がはかどります！

回答No.1

arrysthmia

＞ ある別の経路kt'（ダッシュ）からkt+1'（＝ｙとします。）を取ってきて、
＞ それ以外のkt'はktと同じ値をとるとします。

というのは、後の式から見ると、
t = τ のとき k[t+1] ≠ a[t+1] = y,
t ≠ τ+1 のとき k[t] = a[t]
であるような τ, y, a[ ] を考える　…ということですね？

u(f(k[τ])-k[τ+1]) + β u(f(k[τ+1])-k[τ+2]) ≧ u(f(k[τ])-y) +β u(f(y)-k[τ+2])
は、その右辺を y の関数 g(y) とみたとき、g(k[τ+1]) が最小値であることを
示しています。u( ), f( ) が微分可能であることから g( ) は微分可能ですから、
極小点 y = k[τ+1] において、g ' (k[τ+1]) = 0 が言えます。

-u'(f(k[τ])-k[τ+1]) + β u'(f(k[τ+1])+k[τ+2]) f'(k[τ+1]) = 0
の左辺が、g ' (k[τ+1]) です。