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四つの円が重なる条件と証明

皆さんこんにちは。 半径が等しい、四つの円が四つともで重なる条件は何でしょうか? 直感的には、ある円と中心と他の円の中心の距離が半径以下なら重なると思うのですが、証明が出来ません。 この証明方法も気になります。 どなたかご回答くださると助かります。

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「ある円(円Aとします)の中心と、他の全ての円の中心の距離が半径以下」 でいいんと思います。別に4つじゃなくても一般に成立します。 証明としては、 まず必要条件は、この条件を満たしていれば、円Aの中心点は、全ての円の内部にある、ていうのを言えばいいです。円の定義からほぼ明らか。 十分条件は、つまり、この条件を満たしていないときに、全ての円の共通部分がないような配置の仕方を、とにかく1つ見つけてくればいいわけです。 実際には、円が3つの場合で考えればいいです。4つ目以降の円は、3つの円のどれかにぴったり重なってると思えばいいだけ。 円Aの直径のある側に2番目の円、同じ直径の反対側に3番目の円をもってくれば(3つの円の中心が直線上にならぶ)、2番目と3番目の円は共通部分を持たないです。 (2つの円が共通部分を持つのは中心間の距離が2R以下の場合なので) というわけで、一応、証明できました。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 円が三つ、半径分の距離だけ離れて中心が一直線上にならんでいる絵を思い描くことで、すっきりと理解することができました。 心から感謝いたします<(_ _)>

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その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんばんは。 よろしければ補足してください。 「四つの円が四つともで重なる」というのは、 1. 4つの円全ての中に含まれる点が存在する。 2. どの円も、他の3つ円のどれか1つ以上と重なっている。 のどちらですか?

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質問者からの補足

あ、そうですね!大事なポイントですね。 1、でお願いします!

  • 回答No.1

それぞれの円の中心の距離が2R未満なら、みんな重なります。 円の数はこの条件をみたすなら無制限で、4個に意味はないと思います。

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質問者からのお礼

sanoriさんの回答にある二番目の重なり方ですね。 言葉足らずですいませんでした。 ですが、ご親切に回答下さりありがとうございます。

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