四つの円が重なる条件と証明

質問

皆さんこんにちは。

半径が等しい、四つの円が四つともで重なる条件は何でしょうか？

直感的には、ある円と中心と他の円の中心の距離が半径以下なら重なると思うのですが、証明が出来ません。
この証明方法も気になります。

どなたかご回答くださると助かります。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

「ある円（円Ａとします）の中心と、他の全ての円の中心の距離が半径以下」
でいいんと思います。別に４つじゃなくても一般に成立します。

証明としては、
まず必要条件は、この条件を満たしていれば、円Ａの中心点は、全ての円の内部にある、ていうのを言えばいいです。円の定義からほぼ明らか。

十分条件は、つまり、この条件を満たしていないときに、全ての円の共通部分がないような配置の仕方を、とにかく１つ見つけてくればいいわけです。
実際には、円が３つの場合で考えればいいです。４つ目以降の円は、３つの円のどれかにぴったり重なってると思えばいいだけ。
円Ａの直径のある側に２番目の円、同じ直径の反対側に３番目の円をもってくれば（３つの円の中心が直線上にならぶ）、２番目と３番目の円は共通部分を持たないです。
（２つの円が共通部分を持つのは中心間の距離が2R以下の場合なので）

というわけで、一応、証明できました。

お礼

ありがとうございます。

円が三つ、半径分の距離だけ離れて中心が一直線上にならんでいる絵を思い描くことで、すっきりと理解することができました。
心から感謝いたします<(_ _)>

回答No.2

sanori

こんばんは。

よろしければ補足してください。

「四つの円が四つともで重なる」というのは、

１．　４つの円全ての中に含まれる点が存在する。
２．　どの円も、他の３つ円のどれか１つ以上と重なっている。

のどちらですか？

補足

あ、そうですね！大事なポイントですね。

１、でお願いします！

回答No.1

kabotya636

それぞれの円の中心の距離が2Ｒ未満なら、みんな重なります。
円の数はこの条件をみたすなら無制限で、4個に意味はないと思います。

お礼

sanoriさんの回答にある二番目の重なり方ですね。

言葉足らずですいませんでした。

ですが、ご親切に回答下さりありがとうございます。